Вопросы, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

При параллельном проецировании пространственных фигур на плоскость некоторые их свойства сохраняются, а некоторые — нет. В частности, сохраняются параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Однако длины отрезков и величины углов в общем случае не сохраняются. Исходя из этих свойств, можно определить, какие фигуры будут изображениями заданных.

Изображение треугольника:
Треугольник задается тремя точками, не лежащими на одной прямой. Его параллельной проекцией также будут три точки, которые, в общем случае, не лежат на одной прямой. Следовательно, изображением треугольника является произвольный треугольник. Любой треугольник на плоскости может служить изображением, например, равностороннего или прямоугольного треугольника.

Изображение параллелограмма:
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Так как параллельное проецирование сохраняет параллельность прямых, изображение параллелограмма также будет четырехугольником с попарно параллельными сторонами, то есть параллелограммом. Таким образом, изображением параллелограмма (включая его частные случаи: прямоугольник, ромб, квадрат) является произвольный параллелограмм.

Изображение трапеции:
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет. При проецировании параллельность оснований сохранится, а непараллельность боковых сторон в общем случае также сохранится. Следовательно, изображением трапеции является произвольная трапеция.

Ответ: Изображением треугольника является произвольный треугольник; изображением параллелограмма — произвольный параллелограмм; изображением трапеции — произвольная трапеция.

Построение изображения многогранников, таких как призма и параллелепипед, следует определенному алгоритму, основанному на свойствах параллельного проецирования.

Построение изображения призмы (например, n-угольной):
1. Сначала строят одно из оснований призмы. Так как основание — это n-угольник, его изображением будет произвольный n-угольник. Нарисуем на плоскости произвольный n-угольник $A_1A_2...A_n$.
2. Затем из каждой вершины этого многоугольника проводят параллельные отрезки одинаковой длины, изображающие боковые ребра призмы. То есть строят отрезки $A_1B_1, A_2B_2, ..., A_nB_n$ так, чтобы они были параллельны друг другу и равны по длине.
3. Соединяют концы построенных отрезков. В результате получают многоугольник $B_1B_2...B_n$, который является изображением второго основания призмы.
4. В завершение определяют видимые и невидимые ребра. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями, а видимые — сплошными. Контур фигуры всегда видимый.

Построение изображения прямоугольного параллелепипеда:
Прямоугольный параллелепипед — это частный случай прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольник. 1. Изображением основания (прямоугольника) является произвольный параллелограмм. Построим параллелограмм $ABCD$.
2. Из вершин $A, B, C, D$ проводят изображения боковых ребер. Так как параллелепипед прямоугольный, его боковые ребра перпендикулярны основанию. При проецировании они изображаются параллельными отрезками равной длины. Построим равные и параллельные друг другу отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.
3. Соединим последовательно точки $A_1, B_1, C_1, D_1$. Полученный параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ будет изображением верхнего основания.
4. Определим видимость ребер и нарисуем невидимые ребра штриховыми линиями. Как правило, это три ребра, сходящиеся в самой дальней от наблюдателя вершине.

Ответ: Для построения изображения призмы сначала рисуют ее основание в виде произвольного многоугольника, затем из его вершин проводят равные параллельные отрезки (боковые ребра) и соединяют их концы, получая второе основание; невидимые ребра изображают штрихами. Изображение прямоугольного параллелепипеда строится аналогично, но в качестве оснований выступают произвольные параллелограммы (изображения прямоугольников).

Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. Это простейшая пирамида, в основании которой лежит треугольник. У него 4 вершины и 6 ребер.

Чтобы построить изображение тетраэдра, нужно выполнить следующие шаги:
1. Выбрать на плоскости три точки, не лежащие на одной прямой, — это будут изображения вершин основания. Обозначим их $A, B, C$ и соединим отрезками, получив изображение основания — треугольник $ABC$.
2. Выбрать четвертую точку $S$ — изображение вершины тетраэдра — в произвольном месте на плоскости (обычно вне треугольника $ABC$).
3. Соединить точку $S$ отрезками с вершинами основания $A, B, C$. Эти отрезки ($SA, SB, SC$) являются изображениями боковых ребер тетраэдра.
4. Определить видимые и невидимые ребра. Обычно одно или два ребра основания и одно боковое ребро оказываются невидимыми и изображаются штриховыми линиями.

Таким образом, фигура, являющаяся изображением тетраэдра, представляет собой совокупность четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой (в общем случае), и шести отрезков, попарно соединяющих эти точки. Такую конструкцию на плоскости можно описать как произвольный четырехугольник (не обязательно выпуклый) вместе с его диагоналями. Например, если точки $A, S, B, C$ образуют выпуклый четырехугольник, то его стороны и диагонали и будут изображением ребер тетраэдра.

Ответ: Изображением тетраэдра является фигура, состоящая из четырех точек, не лежащих на одной прямой, и шести отрезков, соединяющих их попарно. Эту фигуру можно также описать как четырехугольник (выпуклый или невыпуклый) с проведенными в нем диагоналями.