Номер 8.7, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.7. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольника, вписанного в данную окружность.

Рис. 8.28

Диагонали любого прямоугольника, вписанного в окружность, равны, пересекаются в одной точке (центре окружности) и делятся этой точкой пополам. Следовательно, диагонали прямоугольника являются диаметрами описанной окружности.

При параллельном проецировании окружность отображается в эллипс. Центр окружности $O$ отображается в центр эллипса $O_1$. Диаметры окружности отображаются в диаметры эллипса (хорды, проходящие через его центр). Свойство деления отрезка пополам при проецировании сохраняется.

Таким образом, изображением двух диаметров прямоугольника будут два произвольных диаметра эллипса. Вершины изображения прямоугольника будут лежать на концах этих диаметров. Фигура, полученная соединением этих вершин, будет параллелограммом, так как ее диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Построение:

1. Проведем через центр эллипса $O_1$ произвольную прямую. Точки ее пересечения с эллипсом, назовем их $A_1$ и $C_1$, образуют один из диаметров эллипса. Этот диаметр $A_1C_1$ является изображением одной из диагоналей прямоугольника.

2. Проведем через центр $O_1$ еще одну прямую, не совпадающую с первой. Точки ее пересечения с эллипсом, $B_1$ и $D_1$, образуют второй диаметр эллипса, который является изображением второй диагонали прямоугольника.

3. Последовательно соединим отрезками точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$.

Полученный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, который и является искомым изображением прямоугольника, вписанного в окружность.

Ответ: Изображением прямоугольника, вписанного в окружность, является параллелограмм, вписанный в эллипс, диагонали которого являются диаметрами этого эллипса. Для его построения нужно провести через центр эллипса два произвольных диаметра и соединить их концы.