Номер 8.11, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.11. Треугольник $A_1 B_1 C_1$ — изображение равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, если высота $AM$ этого треугольника делит сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$ так, что $BM = 5MC$.

Анализ
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, высота $BK$, проведенная к основанию, является также медианой и серединным перпендикуляром. Следовательно, точка $O$ лежит на медиане $BK$.

При параллельном проектировании треугольника $ABC$ в треугольник $A_1B_1C_1$ медиана $BK$ переходит в медиану $B_1K_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Изображение центра описанной окружности $O_1$ будет лежать на медиане $B_1K_1$.

Чтобы найти точное положение точки $O$ на медиане $BK$, воспользуемся условием задачи. Пусть $AM$ — высота, проведенная к стороне $BC$. По условию $BM = 5MC$. Обозначим $MC = x$, тогда $BM = 5x$, а вся сторона $BC = BM + MC = 6x$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то его боковые стороны равны: $AB = BC = 6x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$. По теореме Пифагора: $AM^2 = AB^2 - BM^2 = (6x)^2 - (5x)^2 = 36x^2 - 25x^2 = 11x^2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMC$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AM^2 + MC^2 = 11x^2 + x^2 = 12x^2$.

Пусть $K$ — середина основания $AC$. Тогда $KC = \frac{1}{2}AC$, и $KC^2 = \frac{1}{4}AC^2 = \frac{1}{4}(12x^2) = 3x^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BKC$. По теореме Пифагора: $BK^2 = BC^2 - KC^2 = (6x)^2 - 3x^2 = 36x^2 - 3x^2 = 33x^2$.

Центр описанной окружности $O$ лежит на высоте (медиане) $BK$. Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу $R$. Таким образом, $OB = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKC$. В нем $OC^2 = OK^2 + KC^2$. Также $OB = |BK - OK|$. Приравняем квадраты радиусов $OB^2$ и $OC^2$: $(BK - OK)^2 = OK^2 + KC^2$ $BK^2 - 2 \cdot BK \cdot OK + OK^2 = OK^2 + KC^2$ $BK^2 - 2 \cdot BK \cdot OK = KC^2$ $2 \cdot BK \cdot OK = BK^2 - KC^2$ $OK = \frac{BK^2 - KC^2}{2 \cdot BK}$

Подставим найденные значения: $OK = \frac{33x^2 - 3x^2}{2 \cdot \sqrt{33x^2}} = \frac{30x^2}{2x\sqrt{33}} = \frac{15x}{\sqrt{33}}$.

Найдем отношение, в котором точка $O$ делит медиану $BK$: $\frac{OK}{BK} = \frac{15x/\sqrt{33}}{\sqrt{33x^2}} = \frac{15x/\sqrt{33}}{x\sqrt{33}} = \frac{15}{33} = \frac{5}{11}$.

Таким образом, точка $O$ делит медиану $BK$ так, что $OK = \frac{5}{11}BK$. Отсюда следует, что $BO = BK - OK = BK - \frac{5}{11}BK = \frac{6}{11}BK$. Значит, точка $O$ делит медиану $BK$ в отношении $BO:OK = 6:5$.

Поскольку при параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, то изображение центра $O_1$ будет делить медиану $B_1K_1$ в том же отношении $B_1O_1:O_1K_1 = 6:5$.

Построение
1. В треугольнике $A_1B_1C_1$ строим медиану $B_1K_1$. Для этого находим середину $K_1$ отрезка $A_1C_1$ и соединяем ее с вершиной $B_1$.
2. Делим отрезок $B_1K_1$ в отношении $6:5$, считая от точки $B_1$. Для этого:
а) Из точки $B_1$ проводим произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $B_1K_1$.
б) На луче $l$ откладываем $6+5=11$ равных отрезков произвольной длины: $B_1P_1 = P_1P_2 = \dots = P_{10}P_{11}$.
в) Соединяем точку $P_{11}$ с точкой $K_1$.
г) Через точку $P_6$ проводим прямую, параллельную отрезку $P_{11}K_1$.
д) Точка пересечения этой прямой с медианой $B_1K_1$ и будет искомой точкой $O_1$.

Доказательство
По построению $K_1$ — середина $A_1C_1$, следовательно, $B_1K_1$ — изображение медианы $BK$ треугольника $ABC$. Согласно анализу, центр описанной окружности $O$ лежит на медиане $BK$ и делит ее в отношении $BO:OK = 6:5$. По построению с использованием теоремы Фалеса для угла $\angle KB_1l$ и параллельных прямых $P_6O_1$ и $P_{11}K_1$, получаем, что $\frac{B_1O_1}{O_1K_1} = \frac{B_1P_6}{P_6P_{11}} = \frac{6}{5}$. Так как параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, точка $O_1$ является изображением центра $O$ описанной окружности треугольника $ABC$.

Ответ: Изображение центра описанной окружности — это точка $O_1$, которая делит медиану $B_1K_1$, проведенную к стороне $A_1C_1$, в отношении $B_1O_1 : O_1K_1 = 6:5$. Построение этой точки выполняется делением отрезка $B_1K_1$ в заданном отношении.