Номер 8.6, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.6. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.

Рис. 8.28

Для решения этой задачи воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, вписанного в окружность. Угол, вписанный в окружность, который опирается на ее диаметр, является прямым ($90^\circ$). Следовательно, гипотенуза любого прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, совпадает с ее диаметром.

При параллельном проектировании окружность переходит в эллипс, а центр окружности — в центр эллипса. Диаметр окружности (любая хорда, проходящая через центр) переходит в диаметр эллипса (хорду, проходящую через центр эллипса). Это свойство и будет основой для построения.

Построение

1. Проведем через заданный центр эллипса $O_1$ произвольную прямую до пересечения с эллипсом в двух точках. Обозначим эти точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ является диаметром эллипса. Этот диаметр является изображением диаметра исходной окружности.
2. Выберем на эллипсе любую другую точку $C_1$, не совпадающую с точками $A_1$ и $B_1$.
3. Соединим отрезками точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым изображением прямоугольного треугольника.

Обоснование

Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением (параллельной проекцией) некоторого треугольника $ABC$, вписанного в исходную окружность. Так как отрезок $A_1B_1$ проходит через центр эллипса $O_1$, то его прообраз — отрезок $AB$ — проходит через центр исходной окружности $O$, то есть является ее диаметром. Угол $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$ опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным. Таким образом, построенный треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.

Ответ: Чтобы построить изображение прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, необходимо провести произвольный диаметр $A_1B_1$ данного эллипса, выбрать на эллипсе произвольную точку $C_1$ (отличную от $A_1$ и $B_1$) и соединить эти три точки. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ и будет искомым изображением.