Страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.4. Треугольник $A_1 B_1 C_1$ является изображением правильного треугольника $ABC$ (рис. 8.26). Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Рис. 8.26

Поскольку исходный треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним), то его центр вписанной окружности, центр описанной окружности, точка пересечения медиан (центроид) и точка пересечения высот (ортоцентр) совпадают. Для построения нам удобнее всего использовать свойство медиан.

При параллельном проецировании, в результате которого получен треугольник $A_1B_1C_1$, сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Это означает, что середина отрезка проецируется в середину его образа. Следовательно, медиана треугольника $ABC$ (отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны) проецируется в медиану треугольника $A_1B_1C_1$.

Таким образом, точка пересечения медиан треугольника $ABC$ проецируется в точку пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$. Задача сводится к построению точки пересечения медиан (центроида) данного треугольника $A_1B_1C_1$.

Построение
1. Находим середину стороны $B_1C_1$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр или измерить сторону и отложить половину ее длины. Обозначим эту точку $M_1$.
2. Проводим отрезок $A_1M_1$, который является медианой треугольника $A_1B_1C_1$.
3. Аналогично находим середину стороны $A_1C_1$ и обозначаем ее $N_1$.
4. Проводим отрезок $B_1N_1$, который является второй медианой треугольника $A_1B_1C_1$.
5. Точка пересечения медиан $A_1M_1$ и $B_1N_1$ является искомой точкой — изображением центра вписанной окружности правильного треугольника $ABC$.

Ответ: Изображением центра вписанной окружности правильного треугольника $ABC$ является точка пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$.

8.5. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением квадрата $ABCD$ (рис. 8.27). Постройте изображение осей симметрии данного квадрата.

Рис. 8.27

Квадрат $ABCD$ имеет четыре оси симметрии:

• две диагонали: $AC$ и $BD$;
• две прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Пусть $M$, $N$, $K$, $L$ — середины сторон $AB$, $CD$, $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда оси симметрии – это прямые $MN$ и $KL$.

При параллельном проектировании, в результате которого получается изображение, сохраняется ряд свойств, ключевым из которых для данной задачи является то, что середина отрезка проектируется в середину изображения этого отрезка. Также прямые линии изображаются прямыми линиями.

Поскольку параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением квадрата $ABCD$, то вершины $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются изображениями вершин $A, B, C, D$. Для построения изображений осей симметрии выполним следующие шаги.

1. Построение изображений диагоналей

Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ являются его осями симметрии. Их изображениями являются соответствующие диагонали параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

• Соединяем вершины $A_1$ и $C_1$. Отрезок $A_1C_1$ – это изображение оси симметрии $AC$.
• Соединяем вершины $B_1$ и $D_1$. Отрезок $B_1D_1$ – это изображение оси симметрии $BD$.

2. Построение изображений прямых, проходящих через середины противоположных сторон

Рассмотрим ось симметрии $MN$, где $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$.

• Находим точку $M_1$ — середину стороны $A_1B_1$. Согласно свойству параллельного проектирования, $M_1$ является изображением точки $M$.
• Находим точку $N_1$ — середину стороны $C_1D_1$. Точка $N_1$ является изображением точки $N$.
• Соединяем точки $M_1$ и $N_1$. Отрезок $M_1N_1$ — это изображение оси симметрии $MN$.

Аналогично строим изображение оси симметрии $KL$, где $K$ — середина $BC$, а $L$ — середина $AD$.

• Находим точку $K_1$ — середину стороны $B_1C_1$. Точка $K_1$ является изображением точки $K$.
• Находим точку $L_1$ — середину стороны $A_1D_1$. Точка $L_1$ является изображением точки $L$.
• Соединяем точки $K_1$ и $L_1$. Отрезок $K_1L_1$ — это изображение оси симметрии $KL$.

В результате мы построили четыре отрезка: $A_1C_1$, $B_1D_1$, $M_1N_1$ и $K_1L_1$, которые являются изображениями четырех осей симметрии квадрата.

Ответ: Изображениями осей симметрии квадрата являются диагонали параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ и отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон.

8.6. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.

Рис. 8.28

Для решения этой задачи воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, вписанного в окружность. Угол, вписанный в окружность, который опирается на ее диаметр, является прямым ($90^\circ$). Следовательно, гипотенуза любого прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, совпадает с ее диаметром.

При параллельном проектировании окружность переходит в эллипс, а центр окружности — в центр эллипса. Диаметр окружности (любая хорда, проходящая через центр) переходит в диаметр эллипса (хорду, проходящую через центр эллипса). Это свойство и будет основой для построения.

Построение

1. Проведем через заданный центр эллипса $O_1$ произвольную прямую до пересечения с эллипсом в двух точках. Обозначим эти точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ является диаметром эллипса. Этот диаметр является изображением диаметра исходной окружности.
2. Выберем на эллипсе любую другую точку $C_1$, не совпадающую с точками $A_1$ и $B_1$.
3. Соединим отрезками точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым изображением прямоугольного треугольника.

Обоснование

Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением (параллельной проекцией) некоторого треугольника $ABC$, вписанного в исходную окружность. Так как отрезок $A_1B_1$ проходит через центр эллипса $O_1$, то его прообраз — отрезок $AB$ — проходит через центр исходной окружности $O$, то есть является ее диаметром. Угол $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$ опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным. Таким образом, построенный треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.

Ответ: Чтобы построить изображение прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, необходимо провести произвольный диаметр $A_1B_1$ данного эллипса, выбрать на эллипсе произвольную точку $C_1$ (отличную от $A_1$ и $B_1$) и соединить эти три точки. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ и будет искомым изображением.

8.7. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольника, вписанного в данную окружность.

Рис. 8.28

Диагонали любого прямоугольника, вписанного в окружность, равны, пересекаются в одной точке (центре окружности) и делятся этой точкой пополам. Следовательно, диагонали прямоугольника являются диаметрами описанной окружности.

При параллельном проецировании окружность отображается в эллипс. Центр окружности $O$ отображается в центр эллипса $O_1$. Диаметры окружности отображаются в диаметры эллипса (хорды, проходящие через его центр). Свойство деления отрезка пополам при проецировании сохраняется.

Таким образом, изображением двух диаметров прямоугольника будут два произвольных диаметра эллипса. Вершины изображения прямоугольника будут лежать на концах этих диаметров. Фигура, полученная соединением этих вершин, будет параллелограммом, так как ее диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Построение:

1. Проведем через центр эллипса $O_1$ произвольную прямую. Точки ее пересечения с эллипсом, назовем их $A_1$ и $C_1$, образуют один из диаметров эллипса. Этот диаметр $A_1C_1$ является изображением одной из диагоналей прямоугольника.

2. Проведем через центр $O_1$ еще одну прямую, не совпадающую с первой. Точки ее пересечения с эллипсом, $B_1$ и $D_1$, образуют второй диаметр эллипса, который является изображением второй диагонали прямоугольника.

3. Последовательно соединим отрезками точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$.

Полученный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, который и является искомым изображением прямоугольника, вписанного в окружность.

Ответ: Изображением прямоугольника, вписанного в окружность, является параллелограмм, вписанный в эллипс, диагонали которого являются диаметрами этого эллипса. Для его построения нужно провести через центр эллипса два произвольных диаметра и соединить их концы.

8.8. Эллипс с центром $O_1$ и отрезок $A_1B_1$ являются изображением окружности с центром $O$ и её хорды $AB$ (рис. 8.29). Постройте изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде $AB$.

Рис. 8.29

Пусть эллипс с центром $O_1$ и отрезок $A_1B_1$ являются параллельной проекцией окружности с центром $O$ и ее хорды $AB$. Требуется построить изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде $AB$.

Решение:

В окружности диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через середину этой хорды. Это свойство является ключевым для решения задачи. Пусть $M$ — середина хорды $AB$ в исходной окружности, а $CD$ — диаметр, перпендикулярный хорде $AB$. Тогда диаметр $CD$ проходит через точку $M$.

При параллельном проецировании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка. Также, прямая проецируется в прямую.

Таким образом, изображение диаметра $CD$ должно проходить через изображение центра окружности $O_1$ и через изображение середины хорды $M_1$. Изображение середины хорды $AB$ есть середина отрезка $A_1B_1$.

Следовательно, для построения изображения искомого диаметра необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти середину $M_1$ отрезка $A_1B_1$, который является изображением хорды $AB$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки (построив серединный перпендикуляр к отрезку $A_1B_1$) или измерив его длину и отложив половину.
2. Провести прямую через центр эллипса $O_1$ (изображение центра окружности $O$) и найденную точку $M_1$ (изображение середины хорды $M$).
3. Отрезок этой прямой, концы которого лежат на эллипсе, и будет являться искомым изображением диаметра. Обозначим концы этого диаметра эллипса как $C_1$ и $D_1$.

На рисунке показан ход построения:
1. Находится точка $M_1$ — середина хорды $A_1B_1$.
2. Проводится прямая через точки $O_1$ и $M_1$.
3. Отрезок $C_1D_1$, являющийся диаметром эллипса на построенной прямой, является искомым изображением диаметра.

Ответ: Изображением диаметра, перпендикулярного хорде $AB$, является диаметр эллипса $C_1D_1$, проходящий через центр эллипса $O_1$ и середину $M_1$ хорды $A_1B_1$.

8.9. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение треугольника $ABC$. Постройте изображение биссектрисы треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$, если $AB : BC = 1 : 2$.

Пусть в исходном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это свойство выражается формулой: $${AL \over LC} = {AB \over BC}$$

Из условия задачи известно, что $AB : BC = 1 : 2$. Подставив это отношение в формулу, получаем: $${AL \over LC} = {1 \over 2}$$ Это означает, что основание биссектрисы, точка $L$, делит сторону $AC$ в отношении $1:2$, считая от вершины $A$.

Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением (параллельной проекцией) треугольника $ABC$. Одно из ключевых свойств параллельного проектирования заключается в том, что оно сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Поскольку точки $A, L, C$ лежат на одной прямой, их изображения $A_1, L_1, C_1$ также будут лежать на одной прямой, и отношение, в котором точка $L_1$ (изображение точки $L$) делит отрезок $A_1C_1$, будет таким же. То есть: $${A_1L_1 \over L_1C_1} = {AL \over LC} = {1 \over 2}$$

Таким образом, задача построения изображения биссектрисы $BL$ сводится к построению её изображения $B_1L_1$. Для этого необходимо сначала найти на отрезке $A_1C_1$ точку $L_1$, которая делит его в отношении $1:2$, а затем соединить её с точкой $B_1$. Построение выполняется следующим образом:

1. Из вершины $A_1$ проводим произвольный луч, не лежащий на прямой $A_1C_1$.
2. На этом луче откладываем от точки $A_1$ три ($1+2=3$) равных между собой отрезка произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков $K_1, K_2, K_3$ так, что $A_1K_1 = K_1K_2 = K_2K_3$.
3. Соединяем точку $K_3$ (конец третьего отрезка) с точкой $C_1$.
4. Через точку $K_1$ (конец первого отрезка) проводим прямую, параллельную прямой $K_3C_1$.
5. Точка пересечения этой параллельной прямой со стороной $A_1C_1$ и будет искомой точкой $L_1$. По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), эта точка делит отрезок $A_1C_1$ в заданном отношении $1:2$.
6. Соединяем отрезком точки $B_1$ и $L_1$. Полученный отрезок $B_1L_1$ является искомым изображением биссектрисы.

Ответ: Изображением биссектрисы треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$, является отрезок $B_1L_1$, где $L_1$ — точка на отрезке $A_1C_1$, делящая его в отношении $A_1L_1 : L_1C_1 = 1:2$.

8.10. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $AB : AC = 5 : 4$.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$, а $\triangle A_1B_1C_1$ — его изображение. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис треугольника. Обозначим инцентр буквой $I$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM$, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой угла $\angle B$. Следовательно, инцентр $I$ лежит на медиане $BM$.

При параллельном проецировании середина отрезка переходит в середину его изображения. Поэтому изображение медианы $BM$ есть медиана $B_1M_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$, где $M_1$ — середина стороны $A_1C_1$. Изображение инцентра $I_1$ будет лежать на отрезке $B_1M_1$.

Теперь найдем, в каком отношении инцентр $I$ делит медиану $BM$. Рассмотрим $\triangle ABM$. В этом треугольнике $AI$ является биссектрисой угла $\angle BAM$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону $BM$ в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:

$\frac{BI}{IM} = \frac{AB}{AM}$

По условию $AB : AC = 5 : 4$. Пусть $AB = 5x$, тогда $AC = 4x$. Поскольку $M$ — середина $AC$, то $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(4x) = 2x$.

Подставим длины сторон в пропорцию:

$\frac{BI}{IM} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2}$

Таким образом, инцентр $I$ делит медиану $BM$ в отношении $5:2$, считая от вершины $B$.

При параллельном проецировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Следовательно, изображение инцентра $I_1$ делит изображение медианы $B_1M_1$ в том же отношении:

$\frac{B_1I_1}{I_1M_1} = \frac{5}{2}$

Отсюда следует алгоритм построения:

1. Найти середину $M_1$ отрезка $A_1C_1$.
2. Провести отрезок $B_1M_1$ — изображение медианы $BM$.
3. Разделить отрезок $B_1M_1$ в отношении $5:2$, считая от точки $B_1$. Для этого можно использовать теорему Фалеса:
   • Провести из точки $B_1$ произвольный луч, не лежащий на прямой $B_1M_1$.
   • Отложить на этом луче от точки $B_1$ семь ($5+2=7$) равных отрезков произвольной длины. Обозначим концы отрезков как $P_1, P_2, \dots, P_7$.
   • Соединить точку $P_7$ с точкой $M_1$.
   • Провести через точку $P_5$ прямую, параллельную отрезку $P_7M_1$.
   • Точка пересечения этой прямой с отрезком $B_1M_1$ и будет искомой точкой $I_1$.

Ответ: Искомая точка $I_1$ (изображение центра вписанной окружности) — это точка на медиане $B_1M_1$ треугольника $A_1B_1C_1$, которая делит эту медиану в отношении $B_1I_1 : I_1M_1 = 5:2$. Построение точки $I_1$ описано выше.