Страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.39. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $BC$ и $AC$ равны соответственно 25 см и 60 см. Найдите биссектрису $AK$ треугольника $ABC$.

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный, и $BC$ и $AC$ — его катеты, то прямой угол — это угол $C$. Дано: $BC=25$ см, $AC=60$ см. $AK$ — биссектриса угла $A$, точка $K$ лежит на стороне $BC$.

1. Нахождение гипотенузы $AB$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ Подставляем известные значения катетов: $AB^2 = 60^2 + 25^2 = 3600 + 625 = 4225$ $AB = \sqrt{4225} = 65$ см.

2. Использование свойства биссектрисы треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для биссектрисы $AK$ это свойство записывается так: $\frac{KC}{BK} = \frac{AC}{AB}$ Подставим известные длины сторон: $\frac{KC}{BK} = \frac{60}{65} = \frac{12}{13}$ Мы также знаем, что отрезки $KC$ и $BK$ в сумме составляют сторону $BC$: $KC + BK = BC = 25$ см. Из пропорции выразим $BK$ через $KC$: $BK = \frac{13}{12}KC$. Теперь подставим это выражение в сумму: $KC + \frac{13}{12}KC = 25$ $(\frac{12}{12} + \frac{13}{12})KC = 25$ $\frac{25}{12}KC = 25$ Отсюда находим длину отрезка $KC$: $KC = 12$ см.

3. Нахождение длины биссектрисы $AK$

Рассмотрим треугольник $ACK$. Он является прямоугольным, так как угол $C$ — прямой. $AC$ и $KC$ — его катеты, а $AK$ — гипотенуза. Снова применим теорему Пифагора, на этот раз для треугольника $ACK$: $AK^2 = AC^2 + KC^2$ Подставим известные значения $AC$ и $KC$: $AK^2 = 60^2 + 12^2 = 3600 + 144 = 3744$ $AK = \sqrt{3744}$ Упростим полученный корень, разложив подкоренное выражение на множители: $3744 = 144 \cdot 26 = 12^2 \cdot 26$ $AK = \sqrt{12^2 \cdot 26} = 12\sqrt{26}$ см.

Ответ: $12\sqrt{26}$ см.

8.40. Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 2 см и 14 см. На сторонах $AB$ и $CD$ отметили точки $M$ и $K$ так, что отрезок $MK$ параллелен основаниям трапеции и делит трапецию на две равновеликие части. Найдите отрезок $MK$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По условию, $BC = 2$ см, $AD = 14$ см. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, так что отрезок $MK$ параллелен основаниям ($MK \parallel AD \parallel BC$). Отрезок $MK$ делит трапецию $ABCD$ на две равновеликие части, то есть на две трапеции $MBCK$ и $AMKD$ с равными площадями.

Обозначим длину искомого отрезка $MK$ через $x$. Пусть высота трапеции $ABCD$ равна $h$. Тогда площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле:$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{2 + 14}{2} \cdot h = \frac{16}{2} \cdot h = 8h$.

Поскольку отрезок $MK$ делит трапецию на две равновеликие части, площади трапеций $MBCK$ и $AMKD$ равны половине площади трапеции $ABCD$:$S_{MBCK} = S_{AMKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 8h = 4h$.

Пусть высота трапеции $MBCK$ равна $h_1$, а высота трапеции $AMKD$ равна $h_2$. Сумма этих высот равна высоте исходной трапеции: $h_1 + h_2 = h$.

Запишем формулы для площадей этих двух трапеций:$S_{MBCK} = \frac{BC + MK}{2} \cdot h_1 = \frac{2 + x}{2} \cdot h_1$.$S_{AMKD} = \frac{MK + AD}{2} \cdot h_2 = \frac{x + 14}{2} \cdot h_2$.

Мы получили систему уравнений:
1) $\frac{2 + x}{2} \cdot h_1 = 4h$
2) $\frac{x + 14}{2} \cdot h_2 = 4h$
3) $h_1 + h_2 = h$

Выразим $h_1$ и $h_2$ из первых двух уравнений:
$h_1 = \frac{8h}{2+x}$
$h_2 = \frac{8h}{x+14}$

Теперь подставим полученные выражения для $h_1$ и $h_2$ в третье уравнение:$\frac{8h}{2+x} + \frac{8h}{x+14} = h$

Так как высота $h$ трапеции не равна нулю ($h>0$), мы можем разделить обе части уравнения на $h$:$\frac{8}{2+x} + \frac{8}{x+14} = 1$

Решим это уравнение относительно $x$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$8 \left( \frac{1}{2+x} + \frac{1}{x+14} \right) = 1$
$8 \left( \frac{(x+14) + (2+x)}{(2+x)(x+14)} \right) = 1$
$8 \frac{2x+16}{(2+x)(x+14)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $(2+x)(x+14)$, предполагая, что $x \neq -2$ и $x \neq -14$, что верно, так как $x$ - длина отрезка.$8(2x+16) = (2+x)(x+14)$
$16x + 128 = 2x + 28 + x^2 + 14x$
$16x + 128 = x^2 + 16x + 28$

Вычтем $16x$ из обеих частей уравнения:$128 = x^2 + 28$
$x^2 = 128 - 28$
$x^2 = 100$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, его значение должно быть положительным. Следовательно, $x = \sqrt{100} = 10$.Таким образом, длина отрезка $MK$ равна 10 см.
Ответ: 10 см.