Страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.20. Эллипс, изображение центра которого не показано, является изображением окружности с центром $O$ (рис. 8.34). Постройте изображение точки $O$.

Рис. 8.34

Поскольку эллипс является изображением окружности при параллельном проецировании, то центр окружности (точка $O$) отображается в центр эллипса. Таким образом, задача сводится к построению центра данного эллипса.

Для построения центра эллипса воспользуемся следующим свойством: прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд эллипса, является его диаметром. Центр эллипса является точкой пересечения любых двух его диаметров.

Алгоритм построения:

1. Проведем в эллипсе произвольную хорду $AB$.
2. Проведем вторую хорду $CD$, параллельную хорде $AB$.
3. Найдем середины этих хорд. Обозначим середину $AB$ как точку $M_1$, а середину $CD$ как точку $M_2$.
4. Проведем прямую через точки $M_1$ и $M_2$. Эта прямая является диаметром эллипса. Обозначим её $d_1$.
5. Теперь повторим процедуру. Проведем еще одну пару параллельных хорд, $EF$ и $GH$, которые не параллельны хордам $AB$ и $CD$.
6. Найдем их середины, точки $N_1$ и $N_2$ соответственно.
7. Проведем прямую через точки $N_1$ и $N_2$. Эта прямая будет вторым диаметром эллипса, $d_2$.
8. Точка пересечения построенных диаметров $d_1$ и $d_2$ и является центром эллипса. Обозначим эту точку как $O'$.

Точка $O'$ — это искомое изображение центра окружности $O$.

Ответ: Изображение точки $O$ — это центр эллипса. Его можно построить как точку пересечения двух диаметров. Каждый диаметр находится как прямая, проходящая через середины двух произвольных параллельных хорд.

8.24. Точки $A_1$, $B_1$ и $D_1$ (рис. 8.38) являются изображениями соответственно вершин $A$, $B$ и $D$ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Постройте изображение этого шестиугольника.

$B_1$

$A_1$

$D_1$

Рис. 8.38

Для построения изображения правильного шестиугольника $ABCDEF$, имея изображения его вершин $A_1, B_1, D_1$, мы воспользуемся свойствами правильного шестиугольника, которые сохраняются при параллельном проектировании (т.е. при построении изображения).

Ключевые свойства:

• Центр шестиугольника $O$ является серединой его больших диагоналей, в частности, диагонали $AD$. Это свойство сохраняется, поэтому изображение центра $O_1$ будет серединой отрезка $A_1D_1$.
• Шестиугольник является центрально-симметричной фигурой относительно своего центра. Это значит, что вершины попарно симметричны относительно центра: $A$ и $D$, $B$ и $E$, $C$ и $F$. Это свойство также сохраняется для изображения.
• Четырехугольник $AOBC$, где $O$ — центр, является параллелограммом (в случае правильного шестиугольника — ромбом). Следовательно, $\vec{AO} = \vec{BC}$. Для изображения это свойство также будет верным: $\vec{A_1O_1} = \vec{B_1C_1}$.

На основе этих свойств, построение изображения шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ выполняется в несколько шагов.

Построение

1. Нахождение изображения центра $O_1$.

   Соединяем точки $A_1$ и $D_1$ отрезком. Находим середину этого отрезка и обозначаем ее $O_1$. Точка $O_1$ — это изображение центра исходного правильного шестиугольника.

2. Построение вершины $C_1$.

   Из свойства, что $A_1O_1C_1B_1$ является параллелограммом, следует векторное равенство $\vec{A_1O_1} = \vec{B_1C_1}$. Чтобы найти точку $C_1$, нужно от точки $B_1$ отложить вектор, равный вектору $\vec{A_1O_1}$. Для этого проводим через точку $B_1$ прямую, параллельную $A_1O_1$, и откладываем на ней от точки $B_1$ отрезок $B_1C_1$, равный по длине и сонаправленный с отрезком $A_1O_1$.

3. Построение вершин $E_1$ и $F_1$.

   Используем свойство центральной симметрии. Точка $O_1$ является серединой диагоналей $B_1E_1$ и $C_1F_1$.

   • Для нахождения $E_1$, проводим прямую через $B_1$ и $O_1$. На этой прямой за точкой $O_1$ откладываем отрезок $O_1E_1$, равный отрезку $B_1O_1$. Таким образом, $E_1$ — точка, симметричная $B_1$ относительно $O_1$.
   • Аналогично, для нахождения $F_1$, проводим прямую через $C_1$ и $O_1$. На этой прямой за точкой $O_1$ откладываем отрезок $O_1F_1$, равный отрезку $C_1O_1$. Таким образом, $F_1$ — точка, симметричная $C_1$ относительно $O_1$.
4. Завершение построения.

   Теперь все шесть вершин ($A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$) известны. Последовательно соединяем их отрезками, чтобы получить искомое изображение шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Ответ: Изображение шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ построено в соответствии с описанным алгоритмом.

8.26. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$. Постройте изображение правильного треугольника:

1) вписанного в данную окружность;

2) описанного около данной окружности.

Пусть данный эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ в результате параллельного проектирования.

1) Построение изображения правильного треугольника, вписанного в данную окружность.

Изображением правильного треугольника $ABC$, вписанного в окружность, является треугольник $A_1B_1C_1$, вписанный в данный эллипс. Построение основано на свойстве, что в правильном треугольнике высота, опущенная из вершины, является также и медианой, а центр описанной окружности делит ее в отношении 2:1, считая от вершины. Это приводит к следующему методу построения:

1. Выберем на эллипсе произвольную точку $A_1$. Она будет изображением одной из вершин искомого треугольника.
2. Проведем через точку $A_1$ и центр эллипса $O_1$ диаметр $A_1D_1$. Этот отрезок является изображением диаметра исходной окружности.
3. Найдем середину $M_1$ отрезка (полудиаметра) $O_1D_1$. Точка $M_1$ является изображением основания высоты (и медианы) треугольника, проведенной из вершины $A$.
4. Построим касательную к эллипсу в точке $A_1$ (или в точке $D_1$, они параллельны). В исходной фигуре сторона $BC$ правильного треугольника $ABC$ параллельна касательной в точке $D$ (так как и сторона $BC$, и касательная перпендикулярны диаметру $AD$). Это свойство параллельности сохраняется при проектировании.
5. Через точку $M_1$ проведем хорду $B_1C_1$ эллипса, параллельную касательной, построенной в предыдущем шаге.
6. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым изображением правильного вписанного треугольника.

Ответ: Изображение вписанного правильного треугольника $A_1B_1C_1$ строится следующим образом: выбирается произвольная вершина $A_1$ на эллипсе, проводится диаметр $A_1D_1$, находится середина $M_1$ полудиаметра $O_1D_1$, и через $M_1$ проводится хорда $B_1C_1$, параллельная касательной к эллипсу в точке $A_1$.

2) Построение изображения правильного треугольника, описанного около данной окружности.

Изображением правильного треугольника, описанного около окружности, является треугольник, описанный около данного эллипса. Построение основано на свойстве, что вершины вписанного в окружность правильного треугольника являются точками касания для описанного правильного треугольника.

1. Сначала построим изображение правильного треугольника $A_1B_1C_1$, вписанного в данный эллипс, как описано в пункте 1. Вершины $A_1, B_1, C_1$ этого треугольника являются изображениями точек касания сторон описанного треугольника с исходной окружностью.
2. Свойство касания сохраняется при параллельном проектировании. Следовательно, стороны искомого описанного треугольника будут касательными к эллипсу в точках $A_1, B_1$ и $C_1$.
3. Построим касательную к эллипсу в точке $A_1$.
4. Построим касательную к эллипсу в точке $B_1$.
5. Построим касательную к эллипсу в точке $C_1$.
6. Точки пересечения этих трех касательных образуют вершины искомого треугольника $P_1Q_1R_1$ — изображения описанного правильного треугольника.

Ответ: Для построения изображения описанного правильного треугольника сначала строится изображение вписанного правильного треугольника $A_1B_1C_1$ (согласно пункту 1). Затем в вершинах $A_1, B_1, C_1$ строятся касательные к эллипсу. Фигура, образованная этими касательными, является искомым треугольником.