Номер 8.26, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.26. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$. Постройте изображение правильного треугольника:

1) вписанного в данную окружность;

2) описанного около данной окружности.

Пусть данный эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ в результате параллельного проектирования.

1) Построение изображения правильного треугольника, вписанного в данную окружность.

Изображением правильного треугольника $ABC$, вписанного в окружность, является треугольник $A_1B_1C_1$, вписанный в данный эллипс. Построение основано на свойстве, что в правильном треугольнике высота, опущенная из вершины, является также и медианой, а центр описанной окружности делит ее в отношении 2:1, считая от вершины. Это приводит к следующему методу построения:

1. Выберем на эллипсе произвольную точку $A_1$. Она будет изображением одной из вершин искомого треугольника.
2. Проведем через точку $A_1$ и центр эллипса $O_1$ диаметр $A_1D_1$. Этот отрезок является изображением диаметра исходной окружности.
3. Найдем середину $M_1$ отрезка (полудиаметра) $O_1D_1$. Точка $M_1$ является изображением основания высоты (и медианы) треугольника, проведенной из вершины $A$.
4. Построим касательную к эллипсу в точке $A_1$ (или в точке $D_1$, они параллельны). В исходной фигуре сторона $BC$ правильного треугольника $ABC$ параллельна касательной в точке $D$ (так как и сторона $BC$, и касательная перпендикулярны диаметру $AD$). Это свойство параллельности сохраняется при проектировании.
5. Через точку $M_1$ проведем хорду $B_1C_1$ эллипса, параллельную касательной, построенной в предыдущем шаге.
6. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым изображением правильного вписанного треугольника.

Ответ: Изображение вписанного правильного треугольника $A_1B_1C_1$ строится следующим образом: выбирается произвольная вершина $A_1$ на эллипсе, проводится диаметр $A_1D_1$, находится середина $M_1$ полудиаметра $O_1D_1$, и через $M_1$ проводится хорда $B_1C_1$, параллельная касательной к эллипсу в точке $A_1$.

2) Построение изображения правильного треугольника, описанного около данной окружности.

Изображением правильного треугольника, описанного около окружности, является треугольник, описанный около данного эллипса. Построение основано на свойстве, что вершины вписанного в окружность правильного треугольника являются точками касания для описанного правильного треугольника.

1. Сначала построим изображение правильного треугольника $A_1B_1C_1$, вписанного в данный эллипс, как описано в пункте 1. Вершины $A_1, B_1, C_1$ этого треугольника являются изображениями точек касания сторон описанного треугольника с исходной окружностью.
2. Свойство касания сохраняется при параллельном проектировании. Следовательно, стороны искомого описанного треугольника будут касательными к эллипсу в точках $A_1, B_1$ и $C_1$.
3. Построим касательную к эллипсу в точке $A_1$.
4. Построим касательную к эллипсу в точке $B_1$.
5. Построим касательную к эллипсу в точке $C_1$.
6. Точки пересечения этих трех касательных образуют вершины искомого треугольника $P_1Q_1R_1$ — изображения описанного правильного треугольника.

Ответ: Для построения изображения описанного правильного треугольника сначала строится изображение вписанного правильного треугольника $A_1B_1C_1$ (согласно пункту 1). Затем в вершинах $A_1, B_1, C_1$ строятся касательные к эллипсу. Фигура, образованная этими касательными, является искомым треугольником.