Номер 8.33, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.33. Постройте изображение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если на рисунке 8.44 точки M и N являются изображениями точек A и B соответственно, а точки $O_1$ и F — изображениями середин отрезков BD и $AC_1$ соответственно.

Рис. 8.44

Для построения изображения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся свойствами параллельного проецирования и геометрическими свойствами куба. При параллельном проецировании параллельность прямых сохраняется, а также сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Это означает, что середина отрезка проецируется в середину проекции отрезка.

Проанализируем данные задачи:

• Точки $M$ и $N$ — изображения вершин $A$ и $B$ соответственно. Следовательно, отрезок $MN$ — изображение ребра $AB$.
• Точка $O_1$ — изображение середины диагонали $BD$ основания. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эта точка является центром квадрата. Таким образом, $O_1$ — изображение центра нижнего основания $ABCD$.
• Точка $F$ — изображение середины пространственной диагонали $AC_1$. Середина любой пространственной диагонали куба является его центром. Следовательно, $F$ — изображение центра куба.

Построение будет выполнено в несколько шагов:

1. Построение изображения основания $ABCD$

   Обозначим изображения вершин $C$ и $D$ как $P$ и $Q$ соответственно. Таким образом, искомое изображение основания — параллелограмм $MNPQ$.

   Поскольку $O_1$ — изображение центра основания, эта точка является серединой изображений диагоналей $AC$ и $BD$.

   • Точка $O_1$ — середина отрезка $MP$ (изображения диагонали $AC$). Чтобы найти точку $P$, строим луч $MO_1$ и откладываем на нем от точки $O_1$ отрезок $O_1P$, равный отрезку $MO_1$. Точка $P$ — искомое изображение вершины $C$.
   • Точка $O_1$ — середина отрезка $NQ$ (изображения диагонали $BD$). Чтобы найти точку $Q$, строим луч $NO_1$ и откладываем на нем от точки $O_1$ отрезок $O_1Q$, равный отрезку $NO_1$. Точка $Q$ — искомое изображение вершины $D$.

   Соединив последовательно точки $M, N, P, Q$, получаем параллелограмм $MNPQ$ — изображение основания куба $ABCD$.

2. Построение изображения центра верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$

   Центр куба (изображаемый точкой $F$) является серединой отрезка, соединяющего центры нижнего и верхнего оснований. Обозначим изображение центра верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ как $O_2$. Тогда точка $F$ является серединой отрезка $O_1O_2$.

   Чтобы найти точку $O_2$, строим луч $O_1F$ и откладываем на нем от точки $F$ отрезок $FO_2$, равный отрезку $O_1F$.

3. Построение изображений вершин верхнего основания

   Боковые ребра куба $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ параллельны и равны. При параллельном проецировании их изображения также будут параллельными и равными друг другу. Вектор, изображающий боковое ребро, равен вектору, соединяющему центры оснований. Таким образом, вектор $\vec{O_1O_2}$ является изображением векторов $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$.

   Обозначим изображения вершин $A_1, B_1, C_1, D_1$ как $M_1, N_1, P_1, Q_1$ соответственно. Для их построения выполним параллельный перенос точек $M, N, P, Q$ на вектор $\vec{O_1O_2}$:

   • $\vec{MM_1} = \vec{O_1O_2}$
   • $\vec{NN_1} = \vec{O_1O_2}$
   • $\vec{PP_1} = \vec{O_1O_2}$
   • $\vec{QQ_1} = \vec{O_1O_2}$

   В результате получаем точки $M_1, N_1, P_1, Q_1$ — изображения вершин верхнего основания.

4. Завершение построения изображения куба

   Соединяем отрезками построенные точки:

   • Вершины верхнего основания: $M_1N_1, N_1P_1, P_1Q_1, Q_1M_1$.
   • Соответствующие вершины оснований (боковые ребра): $MM_1, NN_1, PP_1, QQ_1$.

   Полученный параллелепипед $MNPQM_1N_1P_1Q_1$ является искомым изображением куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Для наглядности чертежа невидимые ребра (например, $MQ$, $QQ_1$ и $P_1Q_1$) следует изобразить штриховыми линиями.

Ответ: Изображение куба строится согласно описанному выше алгоритму. В результате получается параллелепипед $MNPQM_1N_1P_1Q_1$, который является искомым изображением куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.