Номер 8.35, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.35. Даны три луча $OA$, $OB$ и $OC$, а также точки $M$, $N$ и $K$ (рис. 8.45). Постройте треугольник так, чтобы его вершины лежали на данных лучах, а стороны содержали точки $M$, $N$ и $K$ по одной на каждой стороне.

Рис. 8.45

Данная задача является классической задачей на построение и решается с помощью проективных преобразований. Идея состоит в том, чтобы свести задачу к нахождению неподвижной точки некоторого преобразования на одной из данных прямых (лучей).

Анализ

Пусть искомый треугольник — это $\triangle PQR$, где его вершины $P, Q, R$ лежат на лучах $OA, OB, OC$ соответственно. Стороны треугольника (рассматриваемые как прямые) $PQ, QR, RP$ должны проходить через точки $M, N, K$, по одной на каждой стороне.

Существует $3! = 6$ способов распределить точки $M, N, K$ по сторонам треугольника. Выберем одно из возможных распределений, которое согласуется с расположением точек на рисунке. Точка $N$ лежит в угле $\angle BOC$, а точки $M$ и $K$ — в угле $\angle AOC$. Это наводит на мысль, что точка $N$ лежит на стороне $QR$. Распределим остальные точки, например, так:

• точка $K$ лежит на стороне $PQ$;
• точка $N$ лежит на стороне $QR$;
• точка $M$ лежит на стороне $RP$.

Теперь проанализируем, как можно построить такой треугольник. Предположим, мы выбрали произвольную точку $P_x$ на луче $OA$ в качестве кандидата на вершину $P$.

1. Вершина $Q$ должна лежать на луче $OB$ и на прямой $P_xK$. Следовательно, точка $Q_x$ однозначно определяется как пересечение прямой $P_xK$ с лучом $OB$.
2. Аналогично, вершина $R$ должна лежать на луче $OC$ и на прямой $Q_xN$. Следовательно, точка $R_x$ определяется как пересечение прямой $Q_xN$ с лучом $OC$.
3. Мы построили три "вершины" $P_x, Q_x, R_x$. Два условия выполнены: $K \in P_xQ_x$ и $N \in Q_xR_x$. Но третье условие — точка $M$ должна лежать на прямой $R_xP_x$ — в общем случае не выполняется.

Чтобы решить задачу, нам нужно найти такую точку $P$ на луче $OA$, для которой это третье условие будет выполнено.

Рассмотрим отображение $f$, которое каждой точке $P_x$ на луче $OA$ ставит в соответствие точку $P'_x$ на том же луче, построенную следующим образом: $P'_x$ — это точка пересечения прямой $R_xM$ с лучом $OA$. Искомая вершина $P$ будет неподвижной точкой этого отображения, то есть такой точкой, для которой $f(P) = P$.

Отображение $f$ является композицией трех центральных проекций (перспектив):

• $f_1: OA \to OB$ с центром в точке $K$.
• $f_2: OB \to OC$ с центром в точке $N$.
• $f_3: OC \to OA$ с центром в точке $M$.

Композиция $f = f_3 \circ f_2 \circ f_1$ является проективным преобразованием прямой $OA$ в себя. Такое преобразование имеет не более двух неподвижных точек, которые можно найти построением.

Построение

Алгоритм построения состоит из двух этапов: нахождение неподвижной точки и построение самого треугольника.

Этап 1: Нахождение неподвижной точки проективного преобразования

1. Выберем на луче $OA$ три произвольные различные точки: $P_1, P_2, P_3$.
2. Для каждой точки $P_i$ ($i=1, 2, 3$) найдем ее образ $P'_i = f(P_i)$:
   1. Проведем прямую $P_iK$. Точка ее пересечения с лучом $OB$ есть $Q_i$.
   2. Проведем прямую $Q_iN$. Точка ее пересечения с лучом $OC$ есть $R_i$.
   3. Проведем прямую $R_iM$. Точка ее пересечения с лучом $OA$ есть $P'_i$.
3. Мы получили три пары соответственных точек $(P_1, P'_1), (P_2, P'_2), (P_3, P'_3)$, которые задают проективное преобразование на прямой $OA$. Теперь построим его неподвижные точки. Один из методов — использование вспомогательной окружности:
   1. Построим в плоскости произвольную окружность $\Gamma$ и выберем на ней произвольную точку $S$.
   2. Спроектируем точки $P_1, P_2, P_3$ и $P'_1, P'_2, P'_3$ из точки $S$ на окружность $\Gamma$. Получим точки $C_1, C_2, C_3$ и $C'_1, C'_2, C'_3$.
   3. Найдем ось проективности на окружности. Для этого построим точки: $X_{12} = (C_1C'_2) \cap (C_2C'_1)$ и $X_{23} = (C_2C'_3) \cap (C_3C'_2)$.
   4. Прямая $h$, проходящая через точки $X_{12}$ и $X_{23}$, является осью проективности.
   5. Найдем точки пересечения прямой $h$ с окружностью $\Gamma$. Эти точки (если они существуют), назовем их $F_1$ и $F_2$, являются неподвижными точками преобразования на окружности.
   6. Спроектируем точки $F_1$ и $F_2$ из центра $S$ обратно на прямую $OA$. Полученные точки пересечения $P$ (и, возможно, $P^*$) являются искомыми неподвижными точками на прямой $OA$.

Этап 2: Построение треугольника

4. Выберем одну из найденных неподвижных точек, лежащую на луче $OA$, в качестве вершины $P$.
5. Проведем прямую через точки $P$ и $K$. Точка ее пересечения с лучом $OB$ даст нам вершину $Q$.
6. Проведем прямую через точки $Q$ и $N$. Точка ее пересечения с лучом $OC$ даст нам вершину $R$.
7. Соединим вершины $P, Q, R$. Треугольник $PQR$ является искомым.

Обоснование

Построенный треугольник $PQR$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Вершины $P, Q, R$ лежат на лучах $OA, OB, OC$ по построению.
• Прямая $PQ$ проходит через точку $K$ (по шагу 5 построения).
• Прямая $QR$ проходит через точку $N$ (по шагу 6 построения).
• Прямая $RP$ проходит через точку $M$. Это следует из того, что $P$ является неподвижной точкой преобразования $f$. Условие $P = f(P)$ означает, что точка $P$ совпадает с точкой пересечения прямой $RM$ с прямой $OA$. Это возможно только если точки $R, M, P$ лежат на одной прямой.

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Искомый треугольник строится на основе нахождения неподвижной точки проективного преобразования прямой $OA$ в себя, которое возникает при последовательном построении вершин треугольника. Вершина $P$ на луче $OA$ является неподвижной точкой этого преобразования. После нахождения точки $P$ остальные вершины $Q$ и $R$ строятся как точки пересечения прямых $PK$ и $QN$ с лучами $OB$ и $OC$ соответственно. Подробный алгоритм построения представлен выше.