Номер 8.30, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.30. Четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ (рис. 8.41) является изображением равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$), в которую можно вписать окружность. Постройте изображение точек касания сторон трапеции со вписанной окружностью.

Рис. 8.41

Пусть $ABCD$ — исходная равнобокая трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ ($BC \parallel AD$), в которую можно вписать окружность. Пусть $A_1B_1C_1D_1$ — её изображение (параллельная проекция). Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC, CD, AD$ как $K, L, M, N$ соответственно. Нам необходимо построить изображения этих точек, то есть $K_1, L_1, M_1, N_1$.

Для построения будем использовать ключевые свойства параллельного проектирования: 1. Параллельность прямых сохраняется. 2. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. В частности, середина отрезка проецируется в середину его изображения.

В равнобокой трапеции ось симметрии перпендикулярна основаниям и проходит через их середины. Центр вписанной окружности всегда лежит на этой оси. Следовательно, точки касания окружности с основаниями $AD$ и $BC$ являются серединами этих оснований. Таким образом, точка $L$ — середина отрезка $BC$, а точка $N$ — середина отрезка $AD$.

Поскольку параллельное проектирование сохраняет середину отрезка, то изображение точки $L$, точка $L_1$, будет являться серединой отрезка $B_1C_1$, а изображение точки $N$, точка $N_1$, — серединой отрезка $A_1D_1$.

Построение:
1. Построить точку $L_1$ как середину отрезка $B_1C_1$.
2. Построить точку $N_1$ как середину отрезка $A_1D_1$.

Ответ: Изображения точек касания на основаниях $L_1$ и $N_1$ являются серединами отрезков $B_1C_1$ и $A_1D_1$ соответственно.

Рассмотрим свойства точек касания на боковых сторонах в исходной трапеции $ABCD$. По свойству касательных, проведённых из одной вершины к вписанной окружности, имеем: $AK = AN$ и $BK = BL$.

Так как $L$ и $N$ — середины оснований, то $AN = \frac{1}{2}AD$ и $BL = \frac{1}{2}BC$. Отсюда следует, что $AK = \frac{1}{2}AD$ и $BK = \frac{1}{2}BC$. Таким образом, точка $K$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $AK:KB = (\frac{1}{2}AD) : (\frac{1}{2}BC) = AD:BC$.

Так как отношение длин параллельных отрезков сохраняется при параллельном проектировании, то $AD:BC = A_1D_1:B_1C_1$. Следовательно, искомая точка $K_1$ должна делить отрезок $A_1B_1$ в отношении $A_1K_1:K_1B_1 = A_1D_1:B_1C_1$.

Построение точки $K_1$ (с помощью теоремы о пропорциональных отрезках):
1. Проведём из точки $A_1$ произвольный луч, не лежащий на прямой $A_1B_1$.
2. На этом луче отложим от точки $A_1$ отрезок $A_1P$, равный по длине отрезку $A_1D_1$.
3. На этом же луче от точки $P$ в том же направлении отложим отрезок $PQ$, равный по длине отрезку $B_1C_1$.
4. Соединим точки $Q$ и $B_1$.
5. Через точку $P$ проведём прямую, параллельную $QB_1$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $A_1B_1$ и будет искомой точкой $K_1$.

Построение точки $M_1$.
Можно построить точку $M_1$ аналогично, разделив отрезок $D_1C_1$ в отношении $D_1M_1:M_1C_1 = A_1D_1:B_1C_1$. Однако есть более простой способ. В равнобокой трапеции $ABCD$ отрезок $KM$, соединяющий точки касания на боковых сторонах, параллелен основаниям $AD$ и $BC$. Так как параллельность прямых сохраняется при проектировании, то и в изображении отрезок $K_1M_1$ должен быть параллелен основаниям $A_1D_1$ и $B_1C_1$.

Альтернативное построение точки $M_1$:
1. После построения точки $K_1$ проводим через неё прямую, параллельную $A_1D_1$.
2. Точка пересечения этой прямой со стороной $C_1D_1$ и будет искомой точкой $M_1$.

Ответ: Изображение точки касания $K_1$ делит отрезок $A_1B_1$ в отношении $A_1K_1:K_1B_1 = A_1D_1:B_1C_1$ и строится с помощью теоремы о пропорциональных отрезках. Изображение точки касания $M_1$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $K_1$ параллельно основанию $A_1D_1$, со стороной $C_1D_1$.