Номер 8.32, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.32. Постройте изображение призмы $ABCA_1B_1C_1$, если на рисунке 8.43 точки $M, N, K, F$ являются изображениями середин отрезков $BB_1$, $CC_1$, $AB$ и $A_1C_1$ соответственно.

Рис. 8.43

Для построения изображения призмы $ABCA_1B_1C_1$ воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве. По условию, точки $M, N, K, F$ являются серединами отрезков $BB_1, CC_1, AB$ и $A_1C_1$ соответственно. Это можно записать в векторной форме:

• $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OB_1})$
• $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OC_1})$
• $\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$
• $\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OA_1} + \vec{OC_1})$

Анализ

1. Найдем вектор $\vec{MN}$:
$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OC_1}) - \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OB_1}) = \frac{1}{2}((\vec{OC} - \vec{OB}) + (\vec{OC_1} - \vec{OB_1}))$
Так как $ABCA_1B_1C_1$ — призма, то ее основания параллельны и равны, следовательно, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$.
Тогда $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{BC}) = \vec{BC}$.
Таким образом, вектор $\vec{MN}$ равен вектору стороны основания призмы $\vec{BC}$.

2. Найдем вектор $\vec{KF}$:
$\vec{KF} = \vec{OF} - \vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA_1} + \vec{OC_1}) - \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \frac{1}{2}((\vec{OA_1} - \vec{OA}) + (\vec{OC_1} - \vec{OB}))$
В призме боковые ребра параллельны и равны, то есть $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Обозначим этот вектор как $\vec{v}$.
Тогда $\vec{OA_1} - \vec{OA} = \vec{AA_1} = \vec{v}$.
Вектор $\vec{OC_1} - \vec{OB}$ можно выразить как $\vec{OC_1} - \vec{OB_1} + \vec{OB_1} - \vec{OB} = \vec{B_1C_1} + \vec{BB_1} = \vec{BC} + \vec{v}$.
Подставляя это в выражение для $\vec{KF}$:
$\vec{KF} = \frac{1}{2}(\vec{v} + (\vec{BC} + \vec{v})) = \frac{1}{2}(2\vec{v} + \vec{BC}) = \vec{v} + \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Мы уже выяснили, что $\vec{BC} = \vec{MN}$. Следовательно:
$\vec{KF} = \vec{v} + \frac{1}{2}\vec{MN}$.
Отсюда можно выразить вектор бокового ребра $\vec{v}$:
$\vec{v} = \vec{KF} - \frac{1}{2}\vec{MN}$.

Теперь, зная векторы $\vec{BC}$ и $\vec{v}$, мы можем выполнить построение.

Построение

1. Находим вектор бокового ребра призмы $\vec{v} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Для этого строим вектор $\frac{1}{2}\vec{MN}$, отложенный от точки $K$. Пусть его конец будет в точке $P$. Тогда вектор $\vec{PF}$ будет искомым вектором $\vec{v}$, так как $\vec{v} = \vec{KF} - \vec{KP} = \vec{PF}$.
2. Строим вершины $B$ и $B_1$. Точка $M$ — середина отрезка $BB_1$. Откладываем от точки $M$ векторы $\frac{1}{2}\vec{v}$ и $-\frac{1}{2}\vec{v}$. Их концы будут соответственно точками $B_1$ и $B$.
3. Строим вершины $C$ и $C_1$. Точка $N$ — середина отрезка $CC_1$. Аналогично, откладываем от точки $N$ векторы $\frac{1}{2}\vec{v}$ и $-\frac{1}{2}\vec{v}$, получая точки $C_1$ и $C$.
4. Строим вершину $A$. Точка $K$ — середина отрезка $AB$. Значит, точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $K$. Строим точку $A$ по правилу $\vec{OA} = \vec{OK} + \vec{BK} = \vec{OK} + (\vec{OK} - \vec{OB}) = 2\vec{OK} - \vec{OB}$.
5. Строим вершину $A_1$. Точка $F$ — середина отрезка $A_1C_1$. Значит, точка $A_1$ симметрична точке $C_1$ относительно точки $F$.
6. Соединяем все полученные вершины: $A, B, C$ — нижнее основание, $A_1, B_1, C_1$ — верхнее основание, $AA_1, BB_1, CC_1$ — боковые ребра.

Ниже представлен результат построения:

Ответ: Изображение призмы построено на основании векторного анализа и представлено на рисунке выше.