Номер 8.25, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.25. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$, отрезок $A_1B_1$ — изображением его гипотенузы $AB$. Постройте изображение биссектрисы треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$, если $\angle A = 30^\circ$.

Анализ

Пусть $ABC$ — исходный прямоугольный треугольник, а $A_1B_1C_1$ — его изображение. По условию, $AB$ — гипотенуза, следовательно, $∠C = 90°$. Также дано, что $∠A = 30°$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠B = 180° - 90° - 30° = 60°$.

Пусть $BL$ — биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABC$, где точка $L$ лежит на катете $AC$. Биссектриса делит угол пополам, значит $∠ABL = ∠LBC = 60° / 2 = 30°$.

Для построения изображения биссектрисы $B_1L_1$ нам необходимо найти положение точки $L_1$ на отрезке $A_1C_1$. Для этого воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $BL$ это свойство записывается так:

$\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит против угла $A = 30°$. Следовательно, его длина равна половине длины гипотенузы $AB$:

$BC = \frac{1}{2}AB$

Подставим это соотношение в формулу свойства биссектрисы:

$\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{\frac{1}{2}AB} = 2$

Таким образом, точка $L$ делит катет $AC$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.

При параллельном проектировании (которое используется для получения изображений в стереометрии) сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Следовательно, изображение точки $L$, точка $L_1$, будет делить изображение катета, отрезок $A_1C_1$, в том же отношении:

$\frac{A_1L_1}{L_1C_1} = 2$

Задача сводится к построению точки $L_1$ на отрезке $A_1C_1$, которая делит его в отношении $2:1$, и соединению ее с точкой $B_1$.

Построение

Для построения изображения биссектрисы, проведенной из вершины $B$, выполним следующие шаги:

1. Из точки $A_1$ проведем произвольный луч $a$, не принадлежащий прямой $A_1C_1$.
2. На луче $a$ отложим от точки $A_1$ три равных отрезка произвольной длины: $A_1M_1 = M_1M_2 = M_2M_3$. Для этого можно использовать циркуль.
3. Соединим точку $M_3$ (конец третьего отрезка) с точкой $C_1$.
4. Через точку $M_2$ (конец второго отрезка) проведем прямую, параллельную отрезку $M_3C_1$.
5. Точка пересечения этой прямой с отрезком $A_1C_1$ и будет искомой точкой $L_1$. Согласно теореме Фалеса, эта точка делит отрезок $A_1C_1$ в отношении $A_1L_1:L_1C_1 = A_1M_2:M_2M_3 = 2:1$.
6. Соединим точки $B_1$ и $L_1$.

Ответ: Отрезок $B_1L_1$, построенный согласно приведенному алгоритму, является изображением биссектрисы треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$.