Номер 8.23, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.23. Точки $A_1$, $B_1$ и $O_1$ являются изображениями соответственно вершин $A$, $B$ и центра $O$ правильного треугольника $ABC$ (рис. 8.37). Постройте изображение данного треугольника.

$B_1$

$O_1$

$A_1$

Рис. 8.37

Для построения изображения правильного треугольника $ABC$, которым является треугольник $A_1B_1C_1$, воспользуемся свойствами параллельного проектирования. Ключевым свойством является то, что при параллельном проектировании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, изображение центра (центроида) треугольника является центроидом его изображения. Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

Поскольку $A_1$, $B_1$ и $O_1$ — это изображения соответственно вершин $A$, $B$ и центра $O$ правильного треугольника $ABC$, то точка $O_1$ является центроидом искомого треугольника $A_1B_1C_1$. Для построения изображения третьей вершины $C_1$ выполним следующие шаги:

1. Соединим точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.
2. Найдем середину отрезка $A_1B_1$ и обозначим ее $M_{c1}$. Точка $M_{c1}$ является изображением середины $M_c$ стороны $AB$ исходного треугольника. Следовательно, отрезок $C_1M_{c1}$ — это изображение медианы $CM_c$.
3. Проведем прямую через точки $M_{c1}$ и $O_1$. Так как центроид лежит на медиане, искомая вершина $C_1$ также будет лежать на этой прямой.
4. В правильном треугольнике $ABC$ центр $O$ делит медиану $CM_c$ так, что $CO : OM_c = 2:1$. Это соотношение сохраняется и для их изображений: $C_1O_1 : O_1M_{c1} = 2:1$. Точки на медиане расположены в порядке $C$, $O$, $M_c$, следовательно, их изображения будут расположены в порядке $C_1$, $O_1$, $M_{c1}$.
5. Для нахождения точки $C_1$ необходимо на луче, проходящем из $M_{c1}$ через $O_1$, отложить от точки $O_1$ отрезок $O_1C_1$, длина которого в два раза больше длины отрезка $M_{c1}O_1$. Другими словами, $\vec{O_1C_1} = 2 \cdot \vec{M_{c1}O_1}$.
6. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ и есть искомое изображение правильного треугольника $ABC$.

Ответ: Чтобы построить изображение треугольника $A_1B_1C_1$, нужно найти середину $M_{c1}$ отрезка $A_1B_1$. Затем провести луч с началом в $M_{c1}$ через точку $O_1$. На этом луче от точки $O_1$ отложить отрезок $O_1C_1$, длина которого равна удвоенной длине отрезка $M_{c1}O_1$. Соединив точки $A_1, B_1, C_1$, получим искомое изображение.