Номер 8.16, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.16. Треугольник $A_1 B_1 C_1$ — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$. Постройте изображение квадрата $DEFM$, если $D \in AB$, $M \in AB$, $E \in AC$, $F \in BC$.

Для построения изображения квадрата $DEFM$ необходимо сначала проанализировать его расположение и свойства в исходном треугольнике $ABC$.

Исходный треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным с гипотенузой $AB$. Это означает, что его катеты равны ($AC = BC$), а углы при основании равны $45^\circ$ ($\angle A = \angle B = 45^\circ$). Квадрат $DEFM$ вписан в треугольник таким образом, что его сторона $DM$ находится на гипотенузе $AB$, а вершины $E$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Из такого расположения следует, что стороны квадрата $DE$ и $FM$ перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Угол $\angle A = 45^\circ$, а угол $\angle ADE = 90^\circ$ (так как $DE \perp AB$). Отсюда следует, что треугольник $ADE$ является прямоугольным равнобедренным, и, следовательно, длина катета $AD$ равна длине катета $DE$ ($AD = DE$).

Аналогично, в треугольнике $BFM$ угол $\angle B = 45^\circ$ и угол $\angle BMF = 90^\circ$, что делает его также прямоугольным равнобедренным. Следовательно, $BM = FM$.

По определению квадрата, все его стороны равны: $DE = FM = DM$. Объединяя эти равенства с выводами из предыдущих пунктов, получаем: $AD = DE = DM = BM$. Это означает, что точки $D$ и $M$ делят гипотенузу $AB$ на три равных отрезка.

Данное свойство — деление отрезка на равные части — сохраняется при параллельном проектировании. Это означает, что в изображении треугольника $A_1B_1C_1$ точки $D_1$ и $M_1$ также будут делить отрезок $A_1B_1$ на три равные части.

Кроме того, рассмотрим медиану $CH$, проведенную из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике эта медиана является также и высотой, то есть $CH \perp AB$. Так как стороны квадрата $DE$ и $FM$ также перпендикулярны $AB$, они параллельны медиане $CH$. Свойство параллельности прямых также сохраняется при параллельном проектировании.

Таким образом, для построения изображения квадрата (которое будет параллелограммом $D_1E_1F_1M_1$) можно использовать следующий алгоритм:

1. Разделить отрезок $A_1B_1$ на три равные части с помощью вспомогательного луча и параллельных прямых (по теореме Фалеса). Получим точки $D_1$ и $M_1$ такие, что $A_1D_1 = D_1M_1 = M_1B_1$.
2. Найти середину $H_1$ отрезка $A_1B_1$ и построить изображение медианы — отрезок $C_1H_1$.
3. Через точку $D_1$ провести прямую, параллельную $C_1H_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $A_1C_1$ будет искомой вершиной $E_1$.
4. Через точку $M_1$ провести прямую, параллельную $C_1H_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $B_1C_1$ будет искомой вершиной $F_1$.
5. Соединить последовательно точки $D_1, E_1, F_1$ и $M_1$. Полученный параллелограмм $D_1E_1F_1M_1$ является искомым изображением квадрата.

Ответ: Искомым изображением квадрата является параллелограмм $D_1E_1F_1M_1$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом. Его вершины $D_1$ и $M_1$ делят отрезок $A_1B_1$ на три равные части, а боковые стороны $D_1E_1$ и $M_1F_1$ параллельны изображению медианы треугольника, проведенной из вершины $C_1$.