Номер 8.13, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.13. Треугольник $A_1 B_1 C_1$ (рис. 8.31) — изображение треугольника $ABC$, точка $O_1$ — изображение центра окружности, описанной около треугольника $ABC$. Постройте изображения высот треугольника $ABC$.

Рис. 8.31

Анализ

Для решения задачи воспользуемся свойством, связывающим высоты треугольника и его описанную окружность. Пусть $ABC$ — исходный треугольник, $O$ — центр его описанной окружности, а $H$ — его ортоцентр (точка пересечения высот). Пусть $AH_a$ — высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, а $M_a$ — середина стороны $BC$.

Прямая $AH_a$ по определению высоты перпендикулярна прямой $BC$ ($AH_a \perp BC$).Прямая $OM_a$ является серединным перпендикуляром к стороне $BC$, так как $O$ — центр описанной окружности. Следовательно, $OM_a \perp BC$.Поскольку обе прямые $AH_a$ и $OM_a$ перпендикулярны одной и той же прямой $BC$, они параллельны друг другу: $AH_a \parallel OM_a$.

Параллельное проектирование, которое переводит треугольник $ABC$ в $A_1B_1C_1$, обладает следующими свойствами:
1. Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
2. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. В частности, середина отрезка переходит в середину его изображения.

Из этого следует, что изображение высоты $AH_a$ (прямая $A_1H_{a1}$) будет параллельно изображению прямой $OM_a$ (прямая $O_1M_{a1}$), где $M_{a1}$ — середина отрезка $B_1C_1$. Это дает нам способ построения изображений высот.

Построение

Для построения изображения высоты, опущенной из вершины $A_1$ на сторону $B_1C_1$, необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти точку $M_{a1}$ — середину отрезка $B_1C_1$.
2. Провести прямую через точки $O_1$ и $M_{a1}$.
3. Через вершину $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $O_1M_{a1}$. Эта прямая и будет искомым изображением высоты треугольника $ABC$, опущенной из вершины $A$.

Аналогичные построения выполняются для двух других высот:
• Находим середину $M_{b1}$ стороны $A_1C_1$. Проводим прямую через $B_1$, параллельную прямой $O_1M_{b1}$.
• Находим середину $M_{c1}$ стороны $A_1B_1$. Проводим прямую через $C_1$, параллельную прямой $O_1M_{c1}$.

Все три построенные прямые (изображения высот) пересекутся в одной точке $H_1$, которая является изображением ортоцентра исходного треугольника $ABC$.

Ответ: Изображения высот строятся как прямые, проходящие через вершины треугольника $A_1$, $B_1$, $C_1$ параллельно прямым, соединяющим центр описанной окружности $O_1$ с серединами противолежащих сторон $B_1C_1$, $A_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно, как показано на рисунке.