Номер 8.28, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.28. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ (рис. 8.39) является изображением квадрата $ABCD$, точка $M_1$ — изображением точки $M$, принадлежащей стороне $AB$. Постройте изображение точки $N$, принадлежащей стороне $BC$, такой, что $AN \perp DM$.

Рис. 8.39

Анализ

По условию, параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является параллельной проекцией квадрата $ABCD$. Построение требуется выполнить на проекции, в то время как условие перпендикулярности $AN \perp DM$ дано для оригинала (квадрата).

Поскольку параллельная проекция не сохраняет величины углов, мы не можем просто построить перпендикулярные прямые на изображении. Однако параллельная проекция сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. Следовательно, нам необходимо выразить условие $AN \perp DM$ через отношения длин отрезков.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ в системе координат. Пусть его сторона равна $a$. Для удобства разместим вершины в точках $D(0, 0)$, $A(0, a)$, $B(a, a)$, $C(a, 0)$.

Точка $M$ принадлежит стороне $AB$. Пусть длина отрезка $AM = m$. Тогда координаты точки $M$ будут $(m, a)$.

Точка $N$ принадлежит стороне $BC$. Пусть длина отрезка $BN = n$. Тогда координаты точки $N$ будут $(a, a-n)$.

Найдем координаты векторов $\vec{DM}$ и $\vec{AN}$:
$\vec{DM} = (m-0, a-0) = (m, a)$.
$\vec{AN} = (a-0, (a-n)-a) = (a, -n)$.

Условие перпендикулярности прямых $AN$ и $DM$ эквивалентно тому, что скалярное произведение векторов $\vec{AN}$ и $\vec{DM}$ равно нулю:
$\vec{AN} \cdot \vec{DM} = 0$
$a \cdot m + (-n) \cdot a = 0$
$am - an = 0$
$a(m - n) = 0$

Так как $a$ (сторона квадрата) не равна нулю, то $m - n = 0$, откуда $m = n$. Это означает, что $AM = BN$.

Поскольку в квадрате $AB = BC$, равенство $AM = BN$ эквивалентно равенству отношений:
$\frac{AM}{AB} = \frac{BN}{BC}$

Это соотношение сохраняется при параллельном проецировании. Следовательно, для изображений $A_1B_1C_1D_1$, $M_1$ и $N_1$ должно выполняться аналогичное равенство:
$\frac{A_1M_1}{A_1B_1} = \frac{B_1N_1}{B_1C_1}$

Таким образом, задача сводится к построению точки $N_1$ на стороне $B_1C_1$ так, чтобы выполнялось данное соотношение.

Построение

1. Проведем диагональ $A_1C_1$.

2. Через точку $M_1$ на стороне $A_1B_1$ проведем прямую, параллельную стороне $B_1C_1$. Обозначим точку пересечения этой прямой с диагональю $A_1C_1$ как $P$.

3. Через точку $P$ проведем прямую, параллельную стороне $A_1B_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $B_1C_1$ и есть искомая точка $N_1$.

Обоснование

Рассмотрим $\triangle A_1B_1C_1$. По построению, $M_1P \parallel B_1C_1$. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), примененной к углу $\angle B_1A_1C_1$, имеем:
$\frac{A_1M_1}{A_1B_1} = \frac{A_1P}{A_1C_1}$

Далее, по построению, $PN_1 \parallel A_1B_1$. Применим ту же теорему к углу $\angle A_1C_1B_1$:
$\frac{C_1N_1}{C_1B_1} = \frac{C_1P}{C_1A_1}$

Преобразуем второе равенство:
$1 - \frac{C_1N_1}{C_1B_1} = 1 - \frac{C_1P}{C_1A_1}$
$\frac{C_1B_1 - C_1N_1}{C_1B_1} = \frac{C_1A_1 - C_1P}{C_1A_1}$
$\frac{B_1N_1}{B_1C_1} = \frac{A_1P}{A_1C_1}$

Объединяя первое и преобразованное второе равенства, получаем:
$\frac{A_1M_1}{A_1B_1} = \frac{B_1N_1}{B_1C_1}$

Это доказывает, что построенная точка $N_1$ удовлетворяет требуемому условию.

Ответ: Изображение точки $N_1$ строится следующим образом: 1) проводится диагональ $A_1C_1$; 2) через точку $M_1$ проводится прямая, параллельная $B_1C_1$, до пересечения с диагональю $A_1C_1$ в точке $P$; 3) через точку $P$ проводится прямая, параллельная $A_1B_1$, до пересечения со стороной $B_1C_1$ в искомой точке $N_1$.