Номер 8.37, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.37. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $ADKF$ так, что точки $D, K$ и $F$ принадлежат сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ пересекает отрезок $DK$ в точке $N$. Докажите, что $DN = FC$.

Поскольку $ADKF$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $DK$ параллельна стороне $AF$. Так как точка $F$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$, то мы можем утверждать, что $DK \parallel AC$.

Проведем среднюю линию $MP$ треугольника $ABC$, где $M$ — середина стороны $BC$ (так как $AM$ — медиана), а точка $P$ — середина стороны $AB$. По свойству средней линии, $PM \parallel AC$ и $PM = \frac{1}{2}AC$.

Так как $DK \parallel AC$ и $PM \parallel AC$, то прямые $DK$ и $PM$ параллельны между собой ($DK \parallel PM$).

Рассмотрим угол $\angle BAM$. Его стороны $AB$ и $AM$ пересекаются параллельными прямыми $DN$ (являющейся частью прямой $DK$) и $PM$. Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках, треугольник $\triangle ADN$ подобен треугольнику $\triangle APM$. Подобие следует из равенства углов: $\angle PAN$ является общим, а $\angle ADN = \angle APM$ как соответственные углы при параллельных прямых $DK$, $PM$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников $\triangle ADN \sim \triangle APM$ следует соотношение их сторон:
$\frac{DN}{PM} = \frac{AD}{AP}$

Выразим из этого соотношения $DN$ и подставим известные нам значения для $PM$ и $AP$ ($P$ — середина $AB$, поэтому $AP = \frac{1}{2}AB$):
$DN = PM \cdot \frac{AD}{AP} = \left(\frac{1}{2}AC\right) \cdot \frac{AD}{\frac{1}{2}AB} = AC \cdot \frac{AD}{AB}$.

Теперь снова воспользуемся свойствами параллелограмма $ADKF$. Его стороны $FK$ и $AD$ параллельны. Так как точка $D$ лежит на стороне $AB$, то $FK \parallel AB$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Прямая $FK$, параллельная стороне $AB$, отсекает от него подобный треугольник $\triangle FCK$. Таким образом, $\triangle FCK \sim \triangle ACB$.

Из подобия этих треугольников следует соотношение сторон:
$\frac{CF}{CA} = \frac{FK}{AB}$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $FK = AD$. Заменим $FK$ на $AD$ в полученной пропорции:
$\frac{CF}{CA} = \frac{AD}{AB}$

На последнем шаге подставим найденное соотношение для $\frac{AD}{AB}$ в формулу для $DN$, полученную ранее:
$DN = AC \cdot \frac{AD}{AB} = AC \cdot \frac{CF}{CA}$

Сократив $CA$ в числителе и знаменателе, получаем искомое равенство:
$DN = CF$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DN = FC$ доказано.