Номер 9.2, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми:

1) $CD$ и $BC$;

2) $AA_1$ и $C_1D_1$;

3) $AA_1$ и $D_1C$;

4) $AC$ и $B_1D_1$;

5) $A_1C_1$ и $AC$.

Рис. 9.8

1) Прямые $CD$ и $BC$ пересекаются в точке $C$. Так как в основании куба лежит квадрат $ABCD$, а $CD$ и $BC$ являются его смежными сторонами, то угол между ними прямой. $CD \perp BC$.
Ответ: $90^\circ$.

2) Прямые $AA_1$ и $C_1D_1$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $AA_1$ на вектор $\vec{AD}$, в результате чего прямая $AA_1$ совпадет с прямой $DD_1$. Угол между прямыми $AA_1$ и $C_1D_1$ равен углу между прямыми $DD_1$ и $C_1D_1$. Прямые $DD_1$ и $C_1D_1$ являются смежными ребрами квадрата $CDD_1C_1$, следовательно, они перпендикулярны.
Ответ: $90^\circ$.

3) Прямые $AA_1$ и $D_1C$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $AA_1$ на вектор $\vec{AD}$, прямая $AA_1$ совпадет с прямой $DD_1$. Искомый угол будет равен углу между прямыми $DD_1$ и $D_1C$. Эти прямые лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$ и пересекаются в точке $D_1$. $D_1C$ является диагональю квадрата $CDD_1C_1$. Угол между стороной квадрата ($DD_1$) и его диагональю ($D_1C$) равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

4) Прямые $AC$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $B_1D_1$ на вектор $\vec{B_1B}$, в результате чего прямая $B_1D_1$ совпадет с прямой $BD$. Угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$. $AC$ и $BD$ — это диагонали квадрата $ABCD$. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
Ответ: $90^\circ$.

5) Прямые $A_1C_1$ и $AC$ являются диагоналями соответственно верхней и нижней граней куба. Так как грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна грани $ABCD$, а отрезки $AA_1$ и $CC_1$ равны и параллельны, то четырехугольник $ACC_1A_1$ — прямоугольник. Его противоположные стороны $AC$ и $A_1C_1$ параллельны. Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.