Номер 9.3, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.3. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми:

1) $AB$ и $BB_1$;

2) $AB$ и $B_1D_1$;

3) $A_1D$ и $B_1C$;

4) $B_1D_1$ и $C_1C$.

Рис. 9.8

Для нахождения углов между прямыми в кубе будем использовать свойства куба: все грани — квадраты, смежные ребра перпендикулярны, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Угол между скрещивающимися прямыми находится как угол между пересекающимися прямыми, одна из которых параллельна одной из данных, а другая — другой (или совпадает с ней).

Прямые AB и BB₁ являются смежными ребрами куба. Они лежат в плоскости грани ABB₁A₁, которая является квадратом. Угол между смежными сторонами квадрата составляет 90°. Следовательно, прямые AB и BB₁ перпендикулярны.

Ответ: 90°.

Прямые AB и B₁D₁ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, выполним параллельный перенос прямой B₁D₁ в плоскость нижнего основания ABCD. Прямая B₁D₁ параллельна диагонали BD.

Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми AB и BD. Эти прямые лежат в плоскости квадрата ABCD. Угол ABD — это угол между стороной квадрата AB и его диагональю BD. В квадрате диагональ является биссектрисой его углов, поэтому угол ABD равен $90° / 2 = 45°$.

Ответ: 45°.

Прямые A₁D и B₁C являются диагоналями боковых граней ADD₁A₁ и BCC₁B₁ соответственно. Это скрещивающиеся прямые. Рассмотрим четырехугольник A₁B₁CD. В кубе ребро A₁B₁ параллельно и равно ребру DC. Следовательно, по признаку параллелограмма, A₁B₁CD — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, поэтому прямая A₁D параллельна прямой B₁C.

Угол между параллельными прямыми по определению равен 0°.

Ответ: 0°.

Прямые B₁D₁ и C₁C являются скрещивающимися. Прямая C₁C — это боковое ребро куба. Все боковые ребра куба параллельны, поэтому прямая C₁C параллельна прямой D₁D. Значит, угол между прямыми B₁D₁ и C₁C равен углу между прямыми B₁D₁ и D₁D.

Ребро D₁D перпендикулярно плоскости верхнего основания A₁B₁C₁D₁, так как это куб. Прямая B₁D₁, как диагональ грани A₁B₁C₁D₁, лежит в этой плоскости. По свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая (D₁D) перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой (B₁D₁), лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения (D₁). Таким образом, угол между B₁D₁ и D₁D равен 90°.

Ответ: 90°.