Номер 9.10, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.10. Каждое ребро тетраэдра $DABC$ равно $a$, точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно (рис. 9.12).

1) Докажите, что $MK \perp AB$ и $MK \perp CD$.

2) Найдите отрезок $MK$.

Рис. 9.12

1) Докажите, что $MK \perp AB$ и $MK \perp CD$.
Так как все ребра тетраэдра $DABC$ равны $a$, то тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники со стороной $a$.

Доказательство перпендикулярности $MK$ и $AB$:
Рассмотрим треугольник $ABD$. Он равносторонний. Отрезок $DM$ соединяет вершину $D$ с серединой противоположной стороны $AB$, следовательно, $DM$ — медиана. В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой, поэтому $DM \perp AB$.
Аналогично, в равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $CM$ является медианой и высотой, следовательно, $CM \perp AB$.
Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DM$ и $CM$, лежащим в плоскости $DMC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $DMC$.
Так как отрезок $MK$ лежит в плоскости $DMC$ (точки $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости), то $MK \perp AB$.

Доказательство перпендикулярности $MK$ и $CD$:
Рассмотрим треугольник $ACD$. Он равносторонний. Отрезок $AK$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $CD$, следовательно, $AK$ — медиана и высота, поэтому $AK \perp CD$.
Аналогично, в равностороннем треугольнике $BCD$ отрезок $BK$ является медианой и высотой, следовательно, $BK \perp CD$.
Прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AK$ и $BK$, лежащим в плоскости $ABK$. Следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ABK$.
Так как отрезок $MK$ лежит в плоскости $ABK$ (точки $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости), то $MK \perp CD$.

Таким образом, доказано, что $MK \perp AB$ и $MK \perp CD$.
Ответ: Доказано.

2) Найдите отрезок MK.
Рассмотрим треугольник $DMC$.
Стороны $DM$ и $CM$ являются высотами в равносторонних треугольниках $ABD$ и $ABC$ соответственно. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $DM = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Это означает, что треугольник $DMC$ является равнобедренным с основанием $CD = a$.
Точка $K$ — середина основания $CD$. Следовательно, $MK$ является медианой, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Таким образом, $MK \perp CD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKC$. В нем:
Гипотенуза $MC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Катет $KC = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}$.
По теореме Пифагора найдем катет $MK$:
$MK^2 = MC^2 - KC^2$
$MK^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$MK = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.