Номер 9.15, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.15. Точки $E, F, M$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AB, AD, CD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$. Известно, что $EM = FK$. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Рассмотрим четырехугольник $EFKM$, вершинами которого являются середины ребер тетраэдра $DABC$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$, следовательно, $EF$ является средней линией. По свойству средней линии, $EF$ параллельна $BD$ и равна половине ее длины: $EF \parallel BD$ и $EF = \frac{1}{2} BD$.

Аналогично, в треугольнике $BCD$ отрезок $KM$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$, значит, $KM$ — средняя линия. Следовательно, $KM \parallel BD$ и $KM = \frac{1}{2} BD$.

Так как $EF \parallel BD$ и $KM \parallel BD$, то $EF \parallel KM$.

Так как $EF = \frac{1}{2} BD$ и $KM = \frac{1}{2} BD$, то $EF = KM$.

В четырехугольнике $EFKM$ две противолежащие стороны ($EF$ и $KM$) параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник $EFKM$ является параллелограммом (этот параллелограмм также известен как параллелограмм Вариньона).

Отрезки $EM$ и $FK$ являются диагоналями этого параллелограмма. По условию задачи дано, что $EM = FK$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Таким образом, $EFKM$ — прямоугольник.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

Найдем угол между прямыми $AC$ и $BD$. Мы уже установили, что $EF \parallel BD$.

Рассмотрим сторону $EK$ четырехугольника $EFKM$. В треугольнике $ABC$ отрезок $EK$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $EK$ является средней линией. Таким образом, $EK \parallel AC$.

Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ равен углу между пересекающимися прямыми $EK$ и $EF$.

Поскольку $EFKM$ — это прямоугольник, то угол между его смежными сторонами $EK$ и $EF$ равен $90^\circ$, то есть $\angle FEK = 90^\circ$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.