Номер 9.19, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.19. Основанием треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC (\angle C = 90^\circ)$. Точка $M$ – середина ребра $AB$. Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $CB_1$, если известно, что $AC_1 = CB_1 = AB$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине прямого угла $C$. Направим ось $Ox$ вдоль катета $CA$, ось $Oy$ вдоль катета $CB$ и ось $Oz$ вдоль бокового ребра $CC_1$.

Пусть длина катета $AC = b$, длина катета $CB = a$, а высота призмы $CC_1 = h$. В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты:

• $A(b, 0, 0)$
• $C(0, 0, 0)$
• $B_1(0, a, h)$
• $C_1(0, 0, h)$

Найдем координаты векторов, соответствующих заданным прямым: $\vec{AC_1}$ и $\vec{CB_1}$.

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (0-b, 0-0, h-0) = (-b, 0, h)$

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (0-0, a-0, h-0) = (0, a, h)$

По условию задачи $AC_1 = CB_1 = AB$. Найдем длины этих отрезков (модули соответствующих векторов):

$|AC_1| = |\vec{AC_1}| = \sqrt{(-b)^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{b^2 + h^2}$

$|CB_1| = |\vec{CB_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$

Вектор $\vec{AB} = B - A = (0-b, a-0, 0-0) = (-b, a, 0)$.

$|AB| = \sqrt{(-b)^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{b^2 + a^2}$

Приравняем длины согласно условию:

1. Из $AC_1 = CB_1$ следует $\sqrt{b^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$, откуда $b^2 + h^2 = a^2 + h^2$, что дает $b^2 = a^2$. Так как $a$ и $b$ - длины, то $a = b$.

2. Из $CB_1 = AB$ и зная, что $a=b$, следует $\sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{b^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2}$. Возведя в квадрат, получаем $a^2 + h^2 = 2a^2$, откуда $h^2 = a^2$. Так как $a$ и $h$ - длины, то $h = a$.

Таким образом, мы получили, что $a = b = h$. Пусть $a=k$ для некоторого $k > 0$.

Теперь векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{CB_1}$ можно записать как:

$\vec{AC_1} = (-k, 0, k)$

$\vec{CB_1} = (0, k, k)$

Угол $\alpha$ между прямыми $AC_1$ и $CB_1$ найдем как угол между этими векторами, используя формулу скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1}}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{CB_1}|}$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1} = (-k) \cdot 0 + 0 \cdot k + k \cdot k = k^2$

Вычислим модули векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(-k)^2 + 0^2 + k^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$

$|\vec{CB_1}| = \sqrt{0^2 + k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos \alpha = \frac{k^2}{(k\sqrt{2}) \cdot (k\sqrt{2})} = \frac{k^2}{2k^2} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.