Номер 9.23, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.23. Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ равны соответственно 4 см и 10 см, $AD = 13$ см. Найдите периметр параллелограмма.

Для нахождения периметра параллелограмма необходимо знать длины двух его смежных сторон. По условию, одна сторона $AD = 13$ см. Нам нужно найти длину смежной стороны, например, $AB$.

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $ABCD$ со сторонами $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ и диагоналями $AC$, $BD$ это свойство записывается в виде формулы:

$AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2$

Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), формулу можно упростить:

$AC^2 + BD^2 = 2(AD^2 + AB^2)$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи: $AC = 4$ см, $BD = 10$ см, $AD = 13$ см.

$4^2 + 10^2 = 2(13^2 + AB^2)$

Произведем вычисления:

$16 + 100 = 2(169 + AB^2)$

$116 = 2(169 + AB^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$58 = 169 + AB^2$

Выразим $AB^2$:

$AB^2 = 58 - 169$

$AB^2 = -111$

Квадрат длины стороны не может быть отрицательным числом. Это означает, что параллелограмма с заданными параметрами не существует.

Чтобы убедиться в этом, можно использовать другой подход. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Тогда в треугольнике $\triangle AOD$ стороны равны:

• $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см
• $OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см
• $AD = 13$ см

Для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Проверим это для $\triangle AOD$:

$AO + OD > AD$

$2 + 5 > 13$

$7 > 13$

Данное неравенство неверно. Это означает, что треугольник $\triangle AOD$ не может существовать, а следовательно, не может существовать и весь параллелограмм $ABCD$ с такими размерами.

Ответ: Задачу решить невозможно, так как параллелограмма с указанными в условии длинами сторон и диагоналей не существует. В условии задачи содержится ошибка.