Номер 9.20, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.20. Точки $M$, $N$ и $K$ — середины соответственно рёбер $CB$, $B_1A_1$ и $AC$ призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите угол между прямыми $CB_1$ и $BA_1$, если известно, что $MN = BK$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему векторов с началом в точке $A$. Обозначим $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ и боковое ребро $\vec{AA_1} = \vec{a}$. Тогда векторы, определяющие положение вершин призмы, будут следующими:

• $\vec{A} = \vec{0}$
• $\vec{B} = \vec{b}$
• $\vec{C} = \vec{c}$
• $\vec{A_1} = \vec{a}$
• $\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{BB_1} = \vec{b} + \vec{a}$
• $\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{CC_1} = \vec{c} + \vec{a}$

Теперь выразим через введенные векторы положение точек $M$, $N$ и $K$.

• Точка $M$ — середина ребра $CB$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{b}}{2}$.
• Точка $N$ — середина ребра $B_1A_1$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{N} = \frac{\vec{B_1} + \vec{A_1}}{2} = \frac{(\vec{b} + \vec{a}) + \vec{a}}{2} = \frac{\vec{b} + 2\vec{a}}{2}$.
• Точка $K$ — середина ребра $AC$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{K} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{c}}{2}$.

Найдем векторы $\vec{MN}$ и $\vec{BK}$:

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{b} + 2\vec{a}}{2} - \frac{\vec{c} + \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{a} - \vec{c}}{2} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}$

$\vec{BK} = \vec{K} - \vec{B} = \frac{\vec{c}}{2} - \vec{b}$

По условию задачи $MN = BK$, что равносильно $MN^2 = BK^2$ или в векторной форме $|\vec{MN}|^2 = |\vec{BK}|^2$.

$|\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}|^2 = |\frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}|^2$

Раскроем квадраты модулей как скалярные произведения векторов на самих себя:

$(\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}) \cdot (\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}) = (\frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b})$

$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \frac{1}{2}\vec{c}) + |\frac{1}{2}\vec{c}|^2 = |\frac{1}{2}\vec{c}|^2 - 2(\frac{1}{2}\vec{c} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{c} + \frac{1}{4}|\vec{c}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

Сократив одинаковые члены, получим:

$|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{b}|^2 - \vec{b} \cdot \vec{c}$

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить полезное для дальнейшего решения соотношение:

$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}$

Теперь найдем угол между прямыми $CB_1$ и $BA_1$. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем эти векторы:

Направляющий вектор для прямой $CB_1$: $\vec{u} = \vec{CB_1} = \vec{B_1} - \vec{C} = (\vec{b} + \vec{a}) - \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Направляющий вектор для прямой $BA_1$: $\vec{v} = \vec{BA_1} = \vec{A_1} - \vec{B} = \vec{a} - \vec{b}$

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится через их скалярное произведение. Вычислим скалярное произведение:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{a} - |\vec{b}|^2) - \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Поскольку скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), слагаемые $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 - \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Теперь подставим в это выражение полученное ранее из условия $MN=BK$ соотношение: $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Так как $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b})$, получаем:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Скалярное произведение направляющих векторов прямых $CB_1$ и $BA_1$ равно нулю. Это означает, что векторы ортогональны, а угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$