Номер 9.16, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.16. Точки $M$ и $N$ — середины соответственно рёбер $AC$ и $BD$ тетраэдра $DABC$. Найдите угол между прямыми $MN$ и $BC$, если известно, что $BC = AD$, а угол между прямыми $BC$ и $AD$ равен $30^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательных построений. Пусть $P$ — середина ребра $AB$ тетраэдра $DABC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $PM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $PM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $PM$ параллельна $BC$ и ее длина равна половине длины $BC$: $PM \parallel BC$ и $PM = \frac{1}{2}BC$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $PN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $PN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, $PN$ параллельна $AD$ и ее длина равна половине длины $AD$: $PN \parallel AD$ и $PN = \frac{1}{2}AD$.

Угол между скрещивающимися прямыми $MN$ и $BC$ по определению равен углу между прямой $MN$ и любой прямой, параллельной $BC$ и пересекающей $MN$. Поскольку $PM \parallel BC$, искомый угол равен углу между прямыми $MN$ и $PM$. Этот угол является углом $\angle PMN$ в треугольнике $PMN$.

Аналогично, угол между скрещивающимися прямыми $BC$ и $AD$ равен углу между параллельными им прямыми $PM$ и $PN$. По условию, угол между $BC$ и $AD$ равен $30^\circ$. Следовательно, угол между прямыми $PM$ и $PN$ также равен $30^\circ$. Этот угол является углом $\angle MPN$ в треугольнике $PMN$. Таким образом, $\angle MPN = 30^\circ$ или $\angle MPN = 150^\circ$. Будем рассматривать случай, когда угол в треугольнике равен острому углу между соответствующими прямыми, то есть $\angle MPN = 30^\circ$.

По условию задачи дано, что $BC = AD$. Так как $PM = \frac{1}{2}BC$ и $PN = \frac{1}{2}AD$, то $PM = PN$. Это означает, что треугольник $PMN$ является равнобедренным с основанием $MN$.

В равнобедренном треугольнике $PMN$ углы при основании равны: $\angle PMN = \angle PNM$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle PMN + \angle PNM + \angle MPN = 180^\circ$

$2\angle PMN + \angle MPN = 180^\circ$

Подставим значение угла $\angle MPN = 30^\circ$:

$2\angle PMN + 30^\circ = 180^\circ$

$2\angle PMN = 180^\circ - 30^\circ$

$2\angle PMN = 150^\circ$

$\angle PMN = 75^\circ$

Таким образом, угол между прямыми $MN$ и $BC$ равен $75^\circ$.

(Примечание: в случае, если бы угол $\angle MPN$ был равен $150^\circ$, искомый угол был бы равен $(180^\circ - 150^\circ)/2 = 15^\circ$. Однако, в таких задачах традиционно рассматривается случай, когда угол во вспомогательном треугольнике соответствует острому углу между скрещивающимися прямыми.)

Ответ: $75^\circ$.