Номер 9.22, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.22. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Докажите, что прямые $B_1 D$ и $AD_1$ перпендикулярны.

Для доказательства того, что прямые $B_1D$ и $AD_1$ перпендикулярны, можно воспользоваться несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ куба. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $AB$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Примем длину ребра куба за $a$.

В этой системе координат найдем координаты необходимых для решения задачи вершин:

• $A(0, 0, 0)$
• $D(a, 0, 0)$
• $B_1(0, a, a)$
• $D_1(a, 0, a)$

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $B_1D$ и $AD_1$.

Для прямой $B_1D$ направляющим вектором является вектор $\vec{B_1D}$:

$\vec{B_1D} = \{D_x - B_{1x}; D_y - B_{1y}; D_z - B_{1z}\} = \{a - 0; 0 - a; 0 - a\} = \{a; -a; -a\}$.

Для прямой $AD_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = \{D_{1x} - A_x; D_{1y} - A_y; D_{1z} - A_z\} = \{a - 0; 0 - 0; a - 0\} = \{a; 0; a\}$.

Угол между прямыми в пространстве можно найти через угол между их направляющими векторами. Прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Вычислим это произведение:

$\vec{B_1D} \cdot \vec{AD_1} = (a)(a) + (-a)(0) + (-a)(a) = a^2 + 0 - a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{B_1D}$ и $\vec{AD_1}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $B_1D$ и $AD_1$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Докажем, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $ACD_1$. Так как прямая $AD_1$ лежит в этой плоскости, из этого будет следовать, что $B_1D \perp AD_1$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Докажем, что $B_1D$ перпендикулярна прямым $AC$ и $CD_1$.

Сначала докажем, что $B_1D \perp AC$. Прямая $AC$ (диагональ основания) перпендикулярна прямой $BD$ (другой диагонали основания), так как диагонали квадрата перпендикулярны. Также $AC$ перпендикулярна ребру $BB_1$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$. Поскольку $BD$ и $BB_1$ — это две пересекающиеся прямые в плоскости $BDD_1B_1$, прямая $AC$ перпендикулярна всей этой плоскости. Прямая $B_1D$ лежит в плоскости $BDD_1B_1$, следовательно, $AC \perp B_1D$.

Теперь докажем, что $B_1D \perp CD_1$. Рассмотрим проекцию прямой $B_1D$ на плоскость боковой грани $CDD_1C_1$. Поскольку ребро $B_1C_1$ перпендикулярно плоскости $CDD_1C_1$, проекцией наклонной $B_1D$ на эту плоскость будет прямая $C_1D$. В квадрате $CDD_1C_1$ диагонали $C_1D$ и $CD_1$ перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($C_1D$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($CD_1$) в этой плоскости, то и сама наклонная ($B_1D$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $B_1D \perp CD_1$.

Итак, мы доказали, что прямая $B_1D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CD_1$) в плоскости $ACD_1$. Следовательно, прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $ACD_1$. А так как прямая $AD_1$ лежит в этой плоскости, то $B_1D \perp AD_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.