Вопросы, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какую прямую называют перпендикулярной плоскости?

2. Какой отрезок называют перпендикулярным плоскости?

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Сформулируйте теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.

5. Сформулируйте теоремы о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.

6. Какие точки называют симметричными относительно плоскости?

7. Опишите преобразование фигуры, которое называют симметрией относительно плоскости.

8. Какую фигуру называют симметричной относительно плоскости?

1. Какую прямую называют перпендикулярной плоскости?

Прямую называют перпендикулярной плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.

Ответ: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Какой отрезок называют перпендикулярным плоскости?

Отрезок называют перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости, и имеет с плоскостью одну общую точку.

Ответ: Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. То есть, если в плоскости $\alpha$ лежат две пересекающиеся в точке $M$ прямые $b$ и $c$, и прямая $a$ перпендикулярна им обеим ($a \perp b$ и $a \perp c$), то прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Ответ: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

4. Сформулируйте теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Если $a \parallel b$ и $a \perp \alpha$, то $b \perp \alpha$.

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.

5. Сформулируйте теоремы о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.

Существуют две взаимно обратные теоремы:

1. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. Если $a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$, то $a \parallel b$.
2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Если $a \parallel b$ и $\alpha \perp a$, то $\alpha \perp b$. (Это теорема из п. 4)

Ответ: Основная теорема гласит: две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.

6. Какие точки называют симметричными относительно плоскости?

Две точки $A$ и $A'$ называют симметричными относительно плоскости $\alpha$, если эта плоскость проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна этому отрезку.

Ответ: Две точки называются симметричными относительно плоскости, если эта плоскость является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

7. Опишите преобразование фигуры, которое называют симметрией относительно плоскости.

Симметрия относительно плоскости (или зеркальная симметрия) — это такое преобразование пространства, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$, симметричную ей относительно данной плоскости $\alpha$. Плоскость $\alpha$ называется плоскостью симметрии.

Ответ: Симметрия относительно плоскости — это преобразование, при котором каждая точка фигуры отображается на точку, симметричную ей относительно этой плоскости.

8. Какую фигуру называют симметричной относительно плоскости?

Фигуру называют симметричной относительно плоскости $\alpha$, если преобразование симметрии относительно этой плоскости переводит (отображает) фигуру в себя. Это означает, что для любой точки, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно плоскости $\alpha$ точка также принадлежит этой фигуре.

Ответ: Фигура называется симметричной относительно плоскости, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно этой плоскости точка также принадлежит этой фигуре.