Номер 10.2, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.2. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$ плоскости $\alpha$. Следует ли из этого, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$?

Нет, из этого не следует, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Для того чтобы сделать вывод о перпендикулярности прямой и плоскости, используется следующий признак (теорема):
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В условии задачи дано, что прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Однако, ключевое условие — что прямые $a$ и $b$ должны быть пересекающимися — в условии задачи отсутствует. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

1. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то по вышеуказанному признаку прямая $m$ действительно будет перпендикулярна плоскости $\alpha$.

2. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то утверждение неверно. Можно привести контрпример, показывающий, что прямая $m$ может быть перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости, но не быть перпендикулярной самой плоскости.

Контрпример:
Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость нижнего основания $ABCD$. Прямые $AB$ и $CD$ лежат в этой плоскости и параллельны друг другу ($AB \parallel CD$). Рассмотрим прямую $AD_1$, которая является диагональю боковой грани $ADD_1A_1$.

• Прямая $AD_1$ перпендикулярна прямой $AB$, так как $AB$ перпендикулярна всей плоскости грани $ADD_1A_1$ (поскольку $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$), а значит $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AD_1$.
• Поскольку $AB \parallel CD$, то и $AD_1 \perp CD$.

Таким образом, мы имеем прямую $m = AD_1$, которая перпендикулярна двум параллельным прямым $a = AB$ и $b = CD$ в плоскости $\alpha = (ABC)$. Однако прямая $AD_1$ не перпендикулярна плоскости $ABCD$. Например, она не перпендикулярна прямой $AD$, лежащей в этой плоскости (угол $\angle D_1AD$ равен $45^\circ$, а не $90^\circ$).

Так как существует случай (когда прямые $a$ и $b$ параллельны), в котором из условия задачи не следует перпендикулярность прямой $m$ плоскости $\alpha$, то на общий вопрос следует дать отрицательный ответ.

Ответ: Нет, не следует. Утверждение верно только в том случае, если прямые $a$ и $b$ пересекаются. Если же прямые $a$ и $b$ параллельны, то из перпендикулярности прямой $m$ прямым $a$ и $b$ не следует ее перпендикулярность плоскости $\alpha$.