Номер 9.17, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.17. Точки $E, F, M$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AB, AD, CD$ и $BC$ тетраэдра $DABC, AC = 12$ см, $BD = 16$ см, $FK = 2\sqrt{13}$ см. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

По условию задачи, точки E, F, M и K являются серединами рёбер AB, AD, CD и BC тетраэдра DABC соответственно.

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок EK соединяет середины сторон AB и BC. Следовательно, EK является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, отрезок EK параллелен стороне AC и его длина равна половине длины AC.$EK \parallel AC$ и $EK = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, в треугольнике ABD отрезок EF соединяет середины сторон AB и AD. Следовательно, EF является средней линией треугольника ABD. По свойству средней линии, отрезок EF параллелен стороне BD и его длина равна половине длины BD.$EF \parallel BD$ и $EF = \frac{1}{2} BD$.

Угол между скрещивающимися прямыми AC и BD равен углу между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. Поскольку $EK \parallel AC$ и $EF \parallel BD$, и прямые EK и EF пересекаются в точке E, то искомый угол между прямыми AC и BD равен углу $\angle KEF$ в треугольнике FKE.

Найдем длины сторон треугольника FKE, используя данные из условия: $AC = 12$ см, $BD = 16$ см и $FK = 2\sqrt{13}$ см.
$EK = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
$EF = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Теперь мы знаем длины всех трех сторон треугольника FKE: $EF = 8$ см, $EK = 6$ см и $FK = 2\sqrt{13}$ см. Для нахождения угла $\angle KEF$ применим теорему косинусов:$FK^2 = EF^2 + EK^2 - 2 \cdot EF \cdot EK \cdot \cos(\angle KEF)$

Подставим известные значения в формулу:$(2\sqrt{13})^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(\angle KEF)$
$4 \cdot 13 = 64 + 36 - 96 \cdot \cos(\angle KEF)$
$52 = 100 - 96 \cdot \cos(\angle KEF)$

Теперь выразим косинус угла $\angle KEF$:$96 \cdot \cos(\angle KEF) = 100 - 52$
$96 \cdot \cos(\angle KEF) = 48$
$\cos(\angle KEF) = \frac{48}{96} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle KEF = 60^\circ$.

Так как угол между скрещивающимися прямыми по определению является острым или прямым, а мы получили угол $60^\circ$, то это и есть искомый угол между прямыми AC и BD.

Ответ: $60^\circ$.