Номер 9.6, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.6. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и треугольник $MEF$ не лежат в одной плоскости, точка $E$ — середина отрезка $AB$, точка $F$ — середина отрезка $CD$, $ME = FE$, $\angle MEF = 110^{\circ}$. Найдите угол между прямыми:

1) $AD$ и $EF$;

2) $AD$ и $ME$;

3) $BC$ и $MF$.

1) AD и EF;

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, отрезок $EF$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $CD$. Следовательно, $EF$ является средней линией трапеции. По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Таким образом, прямая $EF$ параллельна прямой $AD$ ($EF \parallel AD$). Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

2) AD и ME;

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Так как трапеция $ABCD$ и треугольник $MEF$ не лежат в одной плоскости, прямые $AD$ и $ME$ являются скрещивающимися.

Из пункта 1 мы знаем, что $AD \parallel EF$. Следовательно, угол между прямыми $AD$ и $ME$ равен углу между прямыми $EF$ и $ME$.

По условию $\angle MEF = 110^\circ$. Угол между прямыми по определению является наименьшим из углов, образованных при их пересечении, и не может превышать $90^\circ$. Смежный с $\angle MEF$ угол равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Этот угол и является углом между прямыми $EF$ и $ME$.

Ответ: $70^\circ$.

3) BC и MF.

Основания трапеции параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Средняя линия $EF$ также параллельна основаниям, поэтому $BC \parallel EF$.

Угол между скрещивающимися прямыми $BC$ и $MF$ равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Так как $BC \parallel EF$, искомый угол равен углу между прямыми $MF$ и $EF$. Этот угол — это $\angle MFE$ в треугольнике $MEF$.

Рассмотрим $\triangle MEF$. По условию $ME = FE$, значит, треугольник является равнобедренным с основанием $MF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle FME = \angle MFE$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle MEF + \angle FME + \angle MFE = 180^\circ$

Подставляем известные значения:

$110^\circ + 2 \cdot \angle MFE = 180^\circ$

$2 \cdot \angle MFE = 180^\circ - 110^\circ$

$2 \cdot \angle MFE = 70^\circ$

$\angle MFE = 35^\circ$

Так как $\angle MFE = 35^\circ$ является острым углом, он и есть угол между прямыми $MF$ и $EF$. Следовательно, угол между $BC$ и $MF$ также равен $35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$.