Вопросы, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 9. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - страница 108.

Условие.

1. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?

2. Что называют углом между двумя скрещивающимися прямыми?

3. Какие две прямые в пространстве называют перпендикулярными?

4. Какие два отрезка в пространстве называют перпендикулярными?

Решение.

Решение 2.

1. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?

При пересечении двух прямых в одной плоскости образуются четыре угла. Эти углы попарно равны как вертикальные. Если один из углов прямой ($90^\circ$), то и остальные три тоже прямые. В этом случае говорят, что прямые перпендикулярны. Если углы не прямые, то образуются две пары углов: два равных острых и два равных тупых. Углом между двумя пересекающимися прямыми принято называть величину меньшего (острого) из углов, образованных при их пересечении. Таким образом, если $\alpha$ — угол между пересекающимися прямыми, то его величина всегда находится в промежутке $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из углов, образованных при их пересечении.

2. Что называют углом между двумя скрещивающимися прямыми?

Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны (т.е. не лежат в одной плоскости). Для определения угла между такими прямыми используется следующий метод: через любую произвольно взятую точку пространства $M$ проводят две прямые, скажем $a_1$ и $b_1$, так, чтобы первая была параллельна первой скрещивающейся прямой $a$, а вторая — второй скрещивающейся прямой $b$. Прямые $a_1$ и $b_1$ будут пересекаться в точке $M$. Угол между этими пересекающимися прямыми $a_1$ и $b_1$ и называется углом между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$. Важно отметить, что величина этого угла не зависит от выбора точки $M$.

Ответ: Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

3. Какие две прямые в пространстве называют перпендикулярными?

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Это определение является общим и применяется как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым. Таким образом, если две прямые пересекаются под углом $90^\circ$, они перпендикулярны. Если две прямые скрещиваются, и угол между ними (найденный по правилу из пункта 2) равен $90^\circ$, они также называются перпендикулярными.

Ответ: Две прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$.

4. Какие два отрезка в пространстве называют перпендикулярными?

Понятие перпендикулярности для отрезков определяется через перпендикулярность содержащих их прямых. Два отрезка в пространстве называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. При этом сами отрезки могут пересекаться, а могут и не иметь общих точек (например, если они лежат на скрещивающихся перпендикулярных прямых).

Ответ: Два отрезка в пространстве называют перпендикулярными, если прямые, содержащие эти отрезки, перпендикулярны.