Номер 8.5, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.5. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением квадрата $ABCD$ (рис. 8.27). Постройте изображение осей симметрии данного квадрата.

Рис. 8.27

Квадрат $ABCD$ имеет четыре оси симметрии:

• две диагонали: $AC$ и $BD$;
• две прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Пусть $M$, $N$, $K$, $L$ — середины сторон $AB$, $CD$, $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда оси симметрии – это прямые $MN$ и $KL$.

При параллельном проектировании, в результате которого получается изображение, сохраняется ряд свойств, ключевым из которых для данной задачи является то, что середина отрезка проектируется в середину изображения этого отрезка. Также прямые линии изображаются прямыми линиями.

Поскольку параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением квадрата $ABCD$, то вершины $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются изображениями вершин $A, B, C, D$. Для построения изображений осей симметрии выполним следующие шаги.

1. Построение изображений диагоналей

Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ являются его осями симметрии. Их изображениями являются соответствующие диагонали параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

• Соединяем вершины $A_1$ и $C_1$. Отрезок $A_1C_1$ – это изображение оси симметрии $AC$.
• Соединяем вершины $B_1$ и $D_1$. Отрезок $B_1D_1$ – это изображение оси симметрии $BD$.

2. Построение изображений прямых, проходящих через середины противоположных сторон

Рассмотрим ось симметрии $MN$, где $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$.

• Находим точку $M_1$ — середину стороны $A_1B_1$. Согласно свойству параллельного проектирования, $M_1$ является изображением точки $M$.
• Находим точку $N_1$ — середину стороны $C_1D_1$. Точка $N_1$ является изображением точки $N$.
• Соединяем точки $M_1$ и $N_1$. Отрезок $M_1N_1$ — это изображение оси симметрии $MN$.

Аналогично строим изображение оси симметрии $KL$, где $K$ — середина $BC$, а $L$ — середина $AD$.

• Находим точку $K_1$ — середину стороны $B_1C_1$. Точка $K_1$ является изображением точки $K$.
• Находим точку $L_1$ — середину стороны $A_1D_1$. Точка $L_1$ является изображением точки $L$.
• Соединяем точки $K_1$ и $L_1$. Отрезок $K_1L_1$ — это изображение оси симметрии $KL$.

В результате мы построили четыре отрезка: $A_1C_1$, $B_1D_1$, $M_1N_1$ и $K_1L_1$, которые являются изображениями четырех осей симметрии квадрата.

Ответ: Изображениями осей симметрии квадрата являются диагонали параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ и отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон.