Номер 7.11, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.11. На рисунке 7.25 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, на ребре $CD$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $B_1$;

2) точки $M$.

Рис. 7.25

Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это преобразование пространства, при котором любая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что $O$ является серединой отрезка $PP'$. Образом фигуры при центральной симметрии является фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры.

Для построения образа куба необходимо построить образы всех его восьми вершин, а затем соединить их соответствующими ребрами.

1) вершины B₁;

В данном случае центром симметрии является вершина куба $B_1$.

1. Найдем образ каждой вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ при симметрии относительно точки $B_1$. Образом куба будет новый куб, равный исходному.
2. Вершина $B_1$, будучи центром симметрии, отображается сама в себя.
3. Для нахождения образа любой другой вершины $X$ нужно провести прямую через $X$ и $B_1$, а затем на этой прямой отложить от точки $B_1$ отрезок $B_1X'$, равный по длине отрезку $XB_1$, в направлении, противоположном лучу $B_1X$. Точка $X'$ и будет образом точки $X$.
4. Найдем образы вершин, смежных с $B_1$: $A_1, C_1, B$.
   • Образ $A_1$ (обозначим $A'_1$) строится путем продления ребра $A_1B_1$ за точку $B_1$ на его длину.
   • Образ $C_1$ (обозначим $C'_1$) строится путем продления ребра $C_1B_1$ за точку $B_1$ на его длину.
   • Образ $B$ (обозначим $B'$) строится путем продления ребра $BB_1$ за точку $B_1$ на его длину.
5. Ребра исходного куба $B_1A_1, B_1C_1, B_1B$ являются тремя взаимно перпендикулярными ребрами, выходящими из вершины $B_1$. Их образы, $B_1A'_1, B_1C'_1, B_1B'$, также будут тремя взаимно перпендикулярными ребрами нового куба, выходящими из общей вершины $B_1$.
6. Аналогично строятся образы остальных вершин: $A, C, D, D_1$. Например, для нахождения образа $D'$ вершины $D$ нужно продлить пространственную диагональ $DB_1$ за точку $B_1$ на ее длину.
7. После нахождения образов всех вершин, их следует соединить ребрами, чтобы получить искомый куб. Например, так как $ABCD$ — грань исходного куба, то $A'B'C'D'$ — грань нового куба (где $A', B', C', D'$ — образы вершин $A, B, C, D$ соответственно).

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно вершины $B_1$ является другой куб, равный исходному, который имеет с ним одну общую точку — вершину $B_1$.

2) точки M.

В данном случае центром симметрии является точка $M$, лежащая на ребре $CD$.

1. Принцип построения остается тем же: для каждой вершины $X$ исходного куба ее образ $X''$ находится на прямой $XM$ по другую сторону от $M$ на расстоянии, равном $XM$.
2. Найдем образы вершин, лежащих на ребре $CD$:
   • Образ $C''$ вершины $C$ лежит на прямой $CD$ так, что $M$ — середина отрезка $CC''$.
   • Образ $D''$ вершины $D$ лежит на прямой $CD$ так, что $M$ — середина отрезка $DD''$.
   • Образом ребра $CD$ будет отрезок $C''D''$, лежащий на той же прямой. Точка $M$ принадлежит обоим этим отрезкам.
3. Найдем образы остальных шести вершин ($A, B, A_1, B_1, C_1, D_1$), проведя через каждую из них и точку $M$ прямую и отложив на ней соответствующий отрезок.
4. Соединив полученные точки-образы, мы получим новый куб, равный исходному.
5. Проанализируем расположение нового куба.
   • Грань $ABCD$ исходного куба лежит в некоторой плоскости. Ее образ, грань $A''B''C''D''$, будет лежать в той же самой плоскости. Эти две грани-квадраты будут симметричны друг другу относительно точки $M$.
   • Вертикальные ребра исходного куба ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) перпендикулярны плоскости основания. Их образы ($A''A''_1, B''B''_1, C''C''_1, D''D''_1$) также будут перпендикулярны этой плоскости, но направлены в противоположную сторону.
   • Таким образом, исходный куб и его образ расположены "по разные стороны" от плоскости, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной ребру $CD$, но их основания лежат в одной плоскости.

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно точки $M$ на ребре $CD$ является другой куб, равный исходному. Основание нового куба лежит в той же плоскости, что и основание $ABCD$ исходного, и симметрично ему относительно точки $M$. Исходный и полученный кубы имеют одну общую точку — $M$.