Номер 6.38, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.38. Точки A, B, C, D, E, F таковы, что $AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$, $CD \parallel FA$ и $AB \neq DE$. Докажите, что данные точки лежат в одной плоскости.

Для доказательства того, что точки $A, B, C, D, E, F$ лежат в одной плоскости, воспользуемся векторным методом.

Введем векторы, соответствующие отрезкам: $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}, \vec{DE}, \vec{EF}, \vec{FA}$.

Из условий задачи следует, что некоторые пары векторов коллинеарны. Запишем это в виде векторных равенств, где $k_1, k_2, k_3$ – некоторые ненулевые действительные числа (коэффициенты пропорциональности):

• $AB \parallel DE \implies \vec{DE} = k_1 \vec{AB}$
• $BC \parallel EF \implies \vec{EF} = k_2 \vec{BC}$
• $CD \parallel FA \implies \vec{FA} = k_3 \vec{CD}$

Условие $AB \neq DE$ означает, что длины отрезков не равны, следовательно, $|k_1| \neq 1$.

Рассмотрим замкнутый контур, образованный точками $A, B, C, D, E, F$. Сумма векторов, образующих этот контур, равна нулевому вектору:

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FA} = \vec{0}$

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{DE}, \vec{EF}, \vec{FA}$:

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + (k_1 \vec{AB}) + (k_2 \vec{BC}) + (k_3 \vec{CD}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:

$(1 + k_1)\vec{AB} + (1 + k_2)\vec{BC} + (1 + k_3)\vec{CD} = \vec{0}$

Это равенство представляет собой линейную комбинацию трех векторов $\vec{AB}, \vec{BC}$ и $\vec{CD}$, которая равна нулевому вектору. Коэффициент $(1 + k_1)$ не равен нулю, так как по условию $|k_1| \neq 1$. Следовательно, это нетривиальная линейная зависимость.

Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны, то есть лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Векторы $\vec{AB}, \vec{BC}$ и $\vec{CD}$ имеют общие точки (B и C), поэтому они лежат в одной плоскости.

Поскольку векторы $\vec{AB}, \vec{BC}$ и $\vec{CD}$ лежат в одной плоскости, то их начальные и конечные точки, а именно точки $A, B, C, D$, также лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

Теперь докажем, что точки $E$ и $F$ также лежат в плоскости $\alpha$.

Мы знаем, что точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$. Вектор $\vec{DE} = k_1 \vec{AB}$. Так как вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости $\alpha$ (или параллелен ей), то и коллинеарный ему вектор $\vec{DE}$ также параллелен плоскости $\alpha$. Если из точки $D \in \alpha$ отложить вектор $\vec{DE}$, параллельный плоскости $\alpha$, то его конец, точка $E$, также будет лежать в плоскости $\alpha$.

Аналогично, точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$. Вектор $\vec{FA} = k_3 \vec{CD}$. Так как вектор $\vec{CD}$ лежит в плоскости $\alpha$, то и вектор $\vec{FA}$ параллелен плоскости $\alpha$. Это означает, что вектор $\vec{AF} = -\vec{FA}$ также параллелен плоскости $\alpha$. Если из точки $A \in \alpha$ отложить вектор $\vec{AF}$, параллельный плоскости $\alpha$, то его конец, точка $F$, также будет лежать в плоскости $\alpha$.

Таким образом, все шесть точек $A, B, C, D, E, F$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что данные точки лежат в одной плоскости.