Номер 6.35, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.35. На рёбрах $AA_1$, $A_1B_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$, $N$ и $K$ (рис. 6.28). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $MNC$.

Рис. 6.28

Искомое сечение — это многоугольник, полученный при пересечении куба плоскостью $\alpha$, которая проходит через точку $K$ и параллельна плоскости $(MNC)$.

Построение основывается на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. В качестве третьих плоскостей мы будем использовать плоскости граней куба.

1. Плоскость $(MNC)$ пересекает грань $ABB_1A_1$ по прямой $MN$. Так как искомая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(MNC)$, а грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $CDD_1C_1$ будет параллельна прямой $MN$. Точка $K$ принадлежит этой грани и плоскости $\alpha$. Проведём в плоскости грани $CDD_1C_1$ через точку $K$ прямую, параллельную $MN$. Эта прямая пересечёт ребро $DD_1$ в точке $P$. Отрезок $KP$ — одна из сторон сечения.
2. Для построения следующей стороны рассмотрим плоскость нижней грани $ABCD$. Найдём линию пересечения плоскости $(MNC)$ с плоскостью $(ABCD)$. Для этого продлим прямую $MN$ в плоскости грани $ABB_1A_1$ до пересечения с продолжением прямой $AB$. Обозначим точку их пересечения как $E$. Точки $E$ и $C$ лежат как в плоскости $(MNC)$, так и в плоскости $(ABCD)$. Следовательно, прямая $EC$ является линией пересечения этих плоскостей (следом плоскости $(MNC)$ на плоскости $(ABCD)$).
3. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $ABCD$ должна быть параллельна прямой $EC$ и проходить через точку $K$. Проведём в плоскости $(ABCD)$ через точку $K$ прямую, параллельную $EC$. Эта прямая пересечёт ребро $BC$ в точке $L$. Отрезок $KL$ — вторая сторона сечения.
4. Теперь у нас есть точка $P$ на грани $ADD_1A_1$ и точка $L$ на грани $BCC_1B_1$. Так как грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$, то линии пересечения плоскости $\alpha$ с этими гранями должны быть параллельны. Найдём линию пересечения $(MNC)$ с гранью $ADD_1A_1$. Эта линия проходит через точку $M$. Чтобы найти вторую точку, продлим прямую $NC$ до пересечения с плоскостью $(ADD_1A_1)$ в точке $F$. Тогда прямая $MF$ — след плоскости $(MNC)$ на грани $ADD_1A_1$. Проведём через точку $P$ в плоскости $(ADD_1A_1)$ прямую, параллельную $MF$. Она пересечёт ребро $A_1D_1$ в точке $R$. Отрезок $PR$ — третья сторона сечения.
5. Грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна грани $ABCD$. Следовательно, линия пересечения $\alpha$ с верхней гранью должна быть параллельна линии пересечения с нижней, то есть отрезку $KL$. Проведём через точку $R$ в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ прямую, параллельную $KL$. Она пересечёт ребро $A_1B_1$ в точке $S$. Отрезок $RS$ — четвёртая сторона сечения.
6. Грань $ABB_1A_1$ параллельна грани $CDD_1C_1$. Линия пересечения $\alpha$ с передней гранью должна быть параллельна линии пересечения с задней, то есть отрезку $KP$. Проведём через точку $S$ в плоскости $(ABB_1A_1)$ прямую, параллельную $KP$ (а значит, и $MN$). Она пересечёт ребро $BB_1$ в точке $T$. Отрезок $ST$ — пятая сторона сечения.
7. Соединим точки $T$ и $L$. Обе точки лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Отрезок $TL$ — шестая, замыкающая сторона сечения. По построению, он должен быть параллелен отрезку $PR$.

В результате построения получен шестиугольник $KPRSTL$. Это и есть искомое сечение.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $KPRSTL$, построенный согласно описанным шагам.