Номер 6.33, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.33. На рёбрах $AD$, $CD$ и $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $E$, $F$ и $K$ (рис. 6.26). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $EFB_1$.

Рис. 6.26

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $EFB_1$, воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Также, если две параллельные плоскости пересекают две другие параллельные плоскости, то линии пересечения первой плоскости с двумя другими будут параллельны линиям пересечения второй плоскости с ними.

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$, а заданную плоскость $(EFB_1)$ как $\beta$. Нам дано, что $K \in \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$.

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Построение линии пересечения плоскости $\alpha$ с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$.
   Плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ параллельна плоскости нижней грани $ABCD$. Плоскость $\beta$ пересекает нижнюю грань по прямой $EF$. Следовательно, искомая плоскость $\alpha$ должна пересекать верхнюю грань по прямой, параллельной $EF$.
   Так как точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$ и лежит на ребре $B_1C_1$ верхней грани, проводим в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ прямую через точку $K$ параллельно прямой $EF$. Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $M$ и ребро $C_1D_1$ в точке $L$. Отрезки $MK$ и $KL$ (составляющие отрезок $ML$) являются сторонами искомого сечения.
2. Построение линии пересечения плоскости $\alpha$ с задней гранью $CDD_1C_1$.
   Плоскость задней грани $CDD_1C_1$ параллельна плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Найдём сначала линию пересечения (след) плоскости $\beta$ с плоскостью передней грани. Точка $B_1$ принадлежит этой линии. Чтобы найти вторую точку, продлим прямую $EF$ в плоскости основания до пересечения с прямой $AB$. Обозначим точку их пересечения $X$. Так как $X \in EF$, то $X \in \beta$. Так как $X \in AB$, то $X$ лежит в плоскости передней грани. Таким образом, прямая $XB_1$ является линией пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью передней грани $ABB_1A_1$.
   Следовательно, плоскость $\alpha$ должна пересекать параллельную ей заднюю грань $CDD_1C_1$ по прямой, параллельной $XB_1$. У нас уже есть точка $L$, принадлежащая сечению и задней грани. Проводим в плоскости $CDD_1C_1$ прямую через точку $L$ параллельно прямой $XB_1$. Пусть эта прямая пересекает ребро $CD$ в точке $P$. Отрезок $LP$ – сторона сечения.
3. Построение линии пересечения плоскости $\alpha$ с нижней гранью $ABCD$.
   Плоскость нижней грани $ABCD$ параллельна плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с верхней гранью – это прямая $ML$. Значит, линия пересечения с нижней гранью должна быть ей параллельна. У нас есть точка $P$, принадлежащая сечению и нижней грани. Проводим в плоскости $ABCD$ прямую через точку $P$ параллельно $ML$ (а значит и $EF$). Пусть эта прямая пересекает ребро $AD$ в точке $Q$. Отрезок $PQ$ – сторона сечения.
4. Построение линии пересечения плоскости $\alpha$ с передней гранью $ABB_1A_1$.
   Плоскость передней грани $ABB_1A_1$ параллельна плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с задней гранью – это прямая $LP$. Следовательно, линия пересечения с передней гранью должна быть ей параллельна. У нас есть точка $M$, принадлежащая сечению и передней грани. Проводим в плоскости $ABB_1A_1$ прямую через точку $M$ параллельно $LP$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AA_1$ в точке $R$. Отрезок $MR$ – сторона сечения.
5. Завершение построения.
   Мы получили точки $Q$ (на ребре $AD$) и $R$ (на ребре $AA_1$), которые принадлежат искомому сечению. Обе эти точки лежат в плоскости левой грани $ADD_1A_1$. Соединяем точки $Q$ и $R$. Отрезок $QR$ является последней стороной сечения.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $MKLPQR$, построенный в соответствии с описанными шагами.