Номер 6.26, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.26. Докажите, что если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то любая прямая, проходящая через точку плоскости $\alpha$ и параллельная плоскости $\beta$, лежит в плоскости $\alpha$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:
Плоскости $α$ и $β$ параллельны, то есть $α \parallel β$.
$M$ — точка, принадлежащая и прямой $a$, и плоскости $α$, то есть $M \in a$ и $M \in α$.
Прямая $a$ параллельна плоскости $β$, то есть $a \parallel β$.

Доказать:
Прямая $a$ лежит в плоскости $α$, то есть $a \subset α$.

Доказательство:

Предположим, что прямая $a$ не лежит в плоскости $α$. Так как прямая $a$ имеет с плоскостью $α$ общую точку $M$, то из нашего предположения следует, что прямая $a$ пересекает плоскость $α$ в единственной точке $M$.

Проведём через прямую $a$ и произвольную точку $B$, принадлежащую плоскости $β$, плоскость $γ$. Поскольку $a \parallel β$, точка $B$ не может лежать на прямой $a$, и такая плоскость $γ$ единственна.

Плоскость $γ$ пересекает плоскость $β$ (так как содержит точку $B \in β$). Обозначим линию их пересечения как $b$. По свойству, если плоскость ($γ$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($β$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($b$) параллельна данной прямой ($a$). Таким образом, $b \parallel a$.

Теперь рассмотрим пересечение плоскостей $α$ и $γ$. Они пересекаются, так как содержат общую точку $M$. Обозначим линию их пересечения как $c$.

Мы имеем две параллельные плоскости $α$ и $β$, которые пересекаются третьей плоскостью $γ$ по прямым $c$ и $b$ соответственно. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии пересечения параллельны, то есть $c \parallel b$.

Итак, мы получили, что $a \parallel b$ и $c \parallel b$. По свойству транзитивности параллельных прямых, отсюда следует, что $a \parallel c$.

При этом обе прямые $a$ и $c$ проходят через точку $M$. (Прямая $a$ проходит через $M$ по условию; прямая $c$ проходит через $M$, так как $M$ принадлежит и плоскости $α$, и плоскости $γ$, а $c$ — их линия пересечения).

Из аксиомы параллельных прямых следует, что через точку в пространстве может проходить только одна прямая, параллельная данной. Поскольку $a \parallel c$ и обе прямые проходят через точку $M$, они должны совпадать: $a=c$.

Но прямая $c$ по построению является линией пересечения плоскостей $α$ и $γ$, а значит, она целиком лежит в плоскости $α$ ($c \subset α$).

Так как $a=c$, то и прямая $a$ должна лежать в плоскости $α$ ($a \subset α$).

Это утверждение ($a \subset α$) противоречит нашему первоначальному предположению ($a \not\subset α$). Следовательно, предположение было неверным.

Таким образом, исходное утверждение верно: прямая $a$ лежит в плоскости $α$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.