Страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.22. Точка K принадлежит грани BCD тетраэдра DABC (рис. 6.20). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку K параллельно плоскости ABD.

Рис. 6.20

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию, она проходит через точку $K$ и параллельна плоскости $(ABD)$. Построение сечения основывается на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Построение в грани BCD
Плоскость грани $(BCD)$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $(ABD)$. Линия пересечения плоскостей $(BCD)$ и $(ABD)$ — это прямая $BD$. Следовательно, плоскость $\alpha$ будет пересекать грань $(BCD)$ по прямой, параллельной $BD$.
Проведем в плоскости $(BCD)$ через точку $K$ прямую, параллельную ребру $BD$. Пусть эта прямая пересекает ребра $DC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $MN$ является стороной искомого сечения.

2. Построение в грани ACD
Теперь рассмотрим плоскость грани $(ACD)$. Она также пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $(ABD)$. Линия их пересечения — прямая $AD$. Значит, плоскость $\alpha$ пересечет грань $(ACD)$ по прямой, параллельной $AD$.
Через точку $M$, которая уже принадлежит сечению и грани $(ACD)$, проведем в плоскости $(ACD)$ прямую, параллельную ребру $AD$. Пусть она пересечет ребро $AC$ в точке $P$. Отрезок $MP$ — это вторая сторона сечения.

3. Завершение построения
Точки $P$ и $N$ принадлежат как плоскости сечения $\alpha$, так и плоскости грани $(ABC)$. Соединив их, мы получим отрезок $PN$ — третью сторону сечения, лежащую на грани $(ABC)$.
Таким образом, треугольник $MNP$ является искомым сечением. Его плоскость $(MNP)$ проходит через точку $K$ (так как $K \in MN$) и параллельна плоскости $(ABD)$ (так как две пересекающиеся прямые $MN$ и $MP$ в плоскости $(MNP)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $BD$ и $AD$ в плоскости $(ABD)$).

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MNP$, где $M \in DC$, $N \in BC$, $P \in AC$. Построение заключается в последовательном проведении прямых: 1) в плоскости $(BCD)$ через точку $K$ проводится прямая до пересечения с ребрами $DC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ параллельно $BD$; 2) в плоскости $(ACD)$ через точку $M$ проводится прямая до пересечения с ребром $AC$ в точке $P$ параллельно $AD$; 3) точки $P$ и $N$ соединяются.

6.23. Точка $E$ принадлежит основанию $ABCD$ пирамиды $MABCD$ (рис. 6.21). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $CMD$.

Рис. 6.21

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ и параллельна плоскости $CMD$. Построение сечения будем выполнять пошагово, находя линии пересечения плоскости $\alpha$ с гранями пирамиды.

1. Построение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABCD
   Две параллельные плоскости ($\alpha$ и $CMD$) пересекаются третьей плоскостью (плоскостью основания $ABCD$) по параллельным прямым. Плоскость $CMD$ пересекает плоскость $ABCD$ по прямой $CD$. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость основания $ABCD$ по прямой, параллельной $CD$. Так как точка $E$ по условию принадлежит плоскости $\alpha$ и плоскости основания, эта прямая должна проходить через точку $E$.
   Проведем в плоскости $ABCD$ прямую через точку $E$ параллельно прямой $CD$. Пусть эта прямая пересекает стороны основания $AD$ и $BC$ в точках $K$ и $F$ соответственно. Если прямая пересекает продолжения сторон, построение аналогично. Отрезок $KF$ – это линия пересечения секущей плоскости с основанием пирамиды.

2. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью MAD
   Рассмотрим пересечение параллельных плоскостей $\alpha$ и $CMD$ плоскостью грани $MAD$. Линии их пересечения должны быть параллельны. Плоскость $CMD$ пересекается с плоскостью $MAD$ по прямой $MD$. Точка $K$, построенная на предыдущем шаге, принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и грани $MAD$ (поскольку лежит на ребре $AD$).
   Следовательно, проведем через точку $K$ прямую, параллельную ребру $MD$. Эта прямая будет лежать в плоскости грани $MAD$. Пусть она пересечет ребро $MA$ в точке $L$. Отрезок $KL$ – это линия пересечения секущей плоскости с гранью $MAD$.

3. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью MBC
   Аналогично предыдущему шагу, рассмотрим пересечение параллельных плоскостей $\alpha$ и $CMD$ плоскостью грани $MBC$. Линии их пересечения должны быть параллельны. Плоскость $CMD$ пересекается с плоскостью $MBC$ по прямой $MC$. Точка $F$, построенная на первом шаге, принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и грани $MBC$ (поскольку лежит на ребре $BC$).
   Проведем через точку $F$ прямую, параллельную ребру $MC$. Эта прямая лежит в плоскости грани $MBC$. Пусть она пересечет ребро $MB$ в точке $N$. Отрезок $FN$ – это линия пересечения секущей плоскости с гранью $MBC$.

4. Завершение построения
   Точки $L$ и $N$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. В то же время, они лежат на ребрах $MA$ и $MB$ соответственно, а значит, принадлежат плоскости грани $MAB$. Соединив точки $L$ и $N$, мы получим отрезок $LN$ – линию пересечения секущей плоскости с гранью $MAB$.
   В результате последовательного построения мы получили четырехугольник $KFNL$. Этот четырехугольник и является искомым сечением пирамиды.

Краткий алгоритм построения:

1. В плоскости $ABCD$ через точку $E$ провести прямую, параллельную $CD$. Найти точки ее пересечения со сторонами основания: $K = (E \in l, l \parallel CD) \cap AD$ и $F = l \cap BC$.
2. В плоскости $MAD$ через точку $K$ провести прямую, параллельную $MD$. Найти точку ее пересечения с ребром $MA$: $L = (K \in m, m \parallel MD) \cap MA$.
3. В плоскости $MBC$ через точку $F$ провести прямую, параллельную $MC$. Найти точку ее пересечения с ребром $MB$: $N = (F \in n, n \parallel MC) \cap MB$.
4. Соединить точки $L$ и $N$.

Искомое сечение – четырехугольник $KFNL$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $KFNL$, построенный согласно описанному выше алгоритму.

6.24. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$ ($\alpha$ и $\gamma$ — разные плоскости). Докажите, что плоскости $\alpha$ и $\gamma$ параллельны.

Это свойство транзитивности параллельности плоскостей. Для его доказательства воспользуемся методом от противного.

Дано:
Плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $).
Плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \beta \parallel \gamma $).
Плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ различны ($ \alpha \neq \gamma $).

Доказать:
Плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \alpha \parallel \gamma $).

Доказательство:
Предположим, что плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не параллельны. По определению, если две плоскости не параллельны, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $ c $. Таким образом, $ \alpha \cap \gamma = c $.

Выберем на прямой $ c $ произвольную точку $ M $. Поскольку точка $ M $ лежит на прямой $ c $, она принадлежит обеим плоскостям: $ M \in \alpha $ и $ M \in \gamma $.

Из условия известно, что $ \alpha \parallel \beta $. Это означает, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не имеют общих точек. Следовательно, точка $ M $, принадлежащая плоскости $ \alpha $, не может принадлежать плоскости $ \beta $, то есть $ M \notin \beta $.

Таким образом, мы получили, что через точку $ M $, не лежащую в плоскости $ \beta $, проходят две различные (по условию) плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $, каждая из которых параллельна плоскости $ \beta $.

Это противоречит теореме о единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости: через точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ пересекаются, было неверным.

Следовательно, плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не пересекаются. Так как по условию они еще и не совпадают, то по определению они параллельны: $ \alpha \parallel \gamma $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $, а плоскость $ \beta $ в свою очередь параллельна плоскости $ \gamma $, то плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $.

6.25. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.

Для доказательства утверждения необходимо установить два факта: существование такой пары параллельных плоскостей и ее единственность.

1. Существование

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна.

Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$ (они не могут быть параллельны, так как в противном случае было бы $a \parallel b$, что противоречит условию о скрещивающихся прямых). Две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$.

По построению, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ ($a \subset \alpha$). Также, поскольку $b' \subset \alpha$ и $b' \parallel b$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$). Прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$, так как иначе прямые $a$ и $b$ лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию.

Аналогично, возьмем на прямой $b$ произвольную точку $N$. Через точку $N$ проведем прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Прямые $b$ и $a'$ пересекаются в точке $N$ и задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\beta$.

По построению, плоскость $\beta$ содержит прямую $b$ ($b \subset \beta$), и по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Докажем, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Плоскость $\alpha$ определяется пересекающимися прямыми $a$ и $b'$. Плоскость $\beta$ определяется пересекающимися прямыми $b$ и $a'$. При этом по построению $a \parallel a'$ и $b \parallel b'$.

По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости ($a$ и $b'$) соответственно параллельны двум прямым другой плоскости ($a'$ и $b$), то эти плоскости параллельны. Следовательно, $\alpha \parallel \beta$.

Таким образом, мы построили пару параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$, таких, что одна из них проходит через прямую $a$, а другая — через прямую $b$. Существование доказано.

2. Единственность

Предположим, что существует другая пара параллельных плоскостей $\alpha_1$ и $\beta_1$, такая, что $a \subset \alpha_1$ и $b \subset \beta_1$.

Рассмотрим плоскость $\alpha_1$. По определению, она содержит прямую $a$. Поскольку $\alpha_1 \parallel \beta_1$ и $b \subset \beta_1$, то из этого следует, что прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha_1$ ($b \parallel \alpha_1$).

Итак, $\alpha_1$ — это плоскость, проходящая через прямую $a$ и параллельная прямой $b$. Докажем, что такая плоскость единственна. Через любую точку прямой $a$ (например, точку $M$ из первой части) можно провести единственную прямую $b'$, параллельную $b$. Любая плоскость, содержащая прямую $a$ и параллельная прямой $b$, обязана содержать и эту прямую $b'$. Так как прямые $a$ и $b'$ пересекаются, они задают единственную плоскость. Эта плоскость в точности совпадает с построенной нами в первой части плоскостью $\alpha$. Следовательно, $\alpha_1 = \alpha$.

Аналогично, плоскость $\beta_1$ содержит прямую $b$ и параллельна прямой $a$. Рассуждая так же, как и для $\alpha_1$, мы приходим к выводу, что такая плоскость единственна и совпадает с построенной нами плоскостью $\beta$. Следовательно, $\beta_1 = \beta$.

Таким образом, мы доказали, что существует только одна пара параллельных плоскостей, удовлетворяющая условию задачи.

Ответ: Утверждение доказано.

6.26. Докажите, что если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то любая прямая, проходящая через точку плоскости $\alpha$ и параллельная плоскости $\beta$, лежит в плоскости $\alpha$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:
Плоскости $α$ и $β$ параллельны, то есть $α \parallel β$.
$M$ — точка, принадлежащая и прямой $a$, и плоскости $α$, то есть $M \in a$ и $M \in α$.
Прямая $a$ параллельна плоскости $β$, то есть $a \parallel β$.

Доказать:
Прямая $a$ лежит в плоскости $α$, то есть $a \subset α$.

Доказательство:

Предположим, что прямая $a$ не лежит в плоскости $α$. Так как прямая $a$ имеет с плоскостью $α$ общую точку $M$, то из нашего предположения следует, что прямая $a$ пересекает плоскость $α$ в единственной точке $M$.

Проведём через прямую $a$ и произвольную точку $B$, принадлежащую плоскости $β$, плоскость $γ$. Поскольку $a \parallel β$, точка $B$ не может лежать на прямой $a$, и такая плоскость $γ$ единственна.

Плоскость $γ$ пересекает плоскость $β$ (так как содержит точку $B \in β$). Обозначим линию их пересечения как $b$. По свойству, если плоскость ($γ$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($β$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($b$) параллельна данной прямой ($a$). Таким образом, $b \parallel a$.

Теперь рассмотрим пересечение плоскостей $α$ и $γ$. Они пересекаются, так как содержат общую точку $M$. Обозначим линию их пересечения как $c$.

Мы имеем две параллельные плоскости $α$ и $β$, которые пересекаются третьей плоскостью $γ$ по прямым $c$ и $b$ соответственно. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии пересечения параллельны, то есть $c \parallel b$.

Итак, мы получили, что $a \parallel b$ и $c \parallel b$. По свойству транзитивности параллельных прямых, отсюда следует, что $a \parallel c$.

При этом обе прямые $a$ и $c$ проходят через точку $M$. (Прямая $a$ проходит через $M$ по условию; прямая $c$ проходит через $M$, так как $M$ принадлежит и плоскости $α$, и плоскости $γ$, а $c$ — их линия пересечения).

Из аксиомы параллельных прямых следует, что через точку в пространстве может проходить только одна прямая, параллельная данной. Поскольку $a \parallel c$ и обе прямые проходят через точку $M$, они должны совпадать: $a=c$.

Но прямая $c$ по построению является линией пересечения плоскостей $α$ и $γ$, а значит, она целиком лежит в плоскости $α$ ($c \subset α$).

Так как $a=c$, то и прямая $a$ должна лежать в плоскости $α$ ($a \subset α$).

Это утверждение ($a \subset α$) противоречит нашему первоначальному предположению ($a \not\subset α$). Следовательно, предположение было неверным.

Таким образом, исходное утверждение верно: прямая $a$ лежит в плоскости $α$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

6.27. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $B_1$ параллельно плоскости $A_1C_1D$. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Построение сечения
Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через вершину $B_1$ и параллельна плоскости $(A_1C_1D)$.
Для построения сечения воспользуемся свойством параллельности плоскостей: если плоскость проходит через заданную точку и содержит две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в заданной плоскости, то эти плоскости параллельны.
Найдем две такие прямые, проходящие через точку $B_1$ и параллельные прямым в плоскости $(A_1C_1D)$.
1. Прямая $A_1D$ лежит в плоскости $(A_1C_1D)$. Рассмотрим диагональ грани $B_1C$. Вектор $\vec{B_1C}$ равен вектору $\vec{A_1D}$, так как $\vec{B_1C} = \vec{BC} - \vec{BB_1}$ и $\vec{A_1D} = \vec{AD} - \vec{AA_1}$, а в кубе $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Следовательно, прямая $B_1C$ параллельна прямой $A_1D$. Так как искомая плоскость $\alpha$ проходит через точку $B_1$, она содержит прямую $B_1C$.
2. Прямая $C_1D$ лежит в плоскости $(A_1C_1D)$. Аналогично, рассмотрим диагональ грани $AB_1$. Вектор $\vec{AB_1}$ равен вектору $\vec{DC_1}$, следовательно прямая $AB_1$ параллельна прямой $DC_1$. (Точнее, $\vec{B_1A} = \vec{C_1D}$). Так как плоскость $\alpha$ проходит через $B_1$, она содержит и прямую $AB_1$.
Плоскость $\alpha$ содержит две пересекающиеся в точке $B_1$ прямые $AB_1$ и $CB_1$, которые параллельны двум пересекающимся в точке $D$ прямым $DC_1$ и $DA_1$ в плоскости $(A_1C_1D)$. Таким образом, плоскость $\alpha$ определена точками $A$, $C$ и $B_1$.
Искомое сечение — это треугольник $ACB_1$.
Ответ: Сечением является треугольник $ACB_1$, сторонами которого служат диагонали граней куба $AC$, $CB_1$ и $AB_1$.

Нахождение площади сечения
Сечением является треугольник $ACB_1$. Найдем длины его сторон. Ребро куба по условию равно $a$.
Стороны треугольника $AC$, $CB_1$ и $AB_1$ — это диагонали граней куба, которые являются квадратами со стороной $a$.
Длину диагонали квадрата найдем по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Таким образом, все стороны треугольника $ACB_1$ имеют одинаковую длину:
$|AC| = |CB_1| = |AB_1| = a\sqrt{2}$.
Следовательно, треугольник $ACB_1$ является равносторонним.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим в эту формулу длину стороны нашего треугольника $s = a\sqrt{2}$:
$S = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

6.28. Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $A_1BC_1$. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Построение сечения

Пусть искомое сечение определяется плоскостью $\beta$, а заданная плоскость — $\alpha = (A_1BC_1)$. По условию, плоскость $\beta$ проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $\alpha$.

Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Мы будем использовать это свойство для построения сечения.

1. Точка $M$ лежит в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Плоскость $\alpha$ пересекает эту грань по прямой $A_1C_1$. Следовательно, плоскость $\beta$ должна пересекать грань $(A_1B_1C_1D_1)$ по прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной $A_1C_1$. Проведём в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ прямую $MN$ так, что $MN \parallel A_1C_1$, где точка $N$ лежит на ребре $B_1C_1$. Поскольку $M$ — середина ребра $A_1B_1$, то по теореме Фалеса для угла $\angle A_1B_1C_1$, точка $N$ будет серединой ребра $B_1C_1$. Отрезок $MN$ — одна из сторон искомого сечения.

2. Точка $N$ лежит в плоскости правой грани $(BCC_1B_1)$. Плоскость $\alpha$ пересекает эту грань по прямой $BC_1$. Следовательно, плоскость $\beta$ должна пересекать грань $(BCC_1B_1)$ по прямой, проходящей через точку $N$ и параллельной $BC_1$. Проведём в плоскости $(BCC_1B_1)$ прямую $NP$ так, что $NP \parallel BC_1$, где точка $P$ лежит на ребре $BB_1$. Поскольку $N$ — середина ребра $B_1C_1$, то по теореме Фалеса для угла $\angle C_1B_1B$, точка $P$ будет серединой ребра $BB_1$. Отрезок $NP$ — вторая сторона сечения.

3. Точки $M$ и $P$ лежат в плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Соединим их отрезком $MP$. Рассмотрим треугольник $A_1B_1B$. Так как $M$ — середина $A_1B_1$ и $P$ — середина $BB_1$, то $MP$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $MP \parallel A_1B$. Плоскость $\alpha$ пересекает переднюю грань по прямой $A_1B$, поэтому параллельность $MP \parallel A_1B$ соответствует условию $\beta \parallel \alpha$. Отрезок $MP$ — третья сторона сечения.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MNP$, вершины которого являются серединами рёбер $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BB_1$.

Нахождение площади полученного сечения

Найдём длины сторон треугольника $MNP$. Ребро куба равно $a$. Точки $M, N, P$ — середины рёбер, поэтому $MB_1 = B_1N = B_1P = a/2$.

1. Рассмoтрим прямоугольный треугольник $MB_1N$ в плоскости верхней грани. По теореме Пифагора:$MN^2 = MB_1^2 + B_1N^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = 2a^2/4 = a^2/2$.$MN = \sqrt{a^2/2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $NB_1P$ в плоскости правой грани (если мысленно развернуть грань). Он также является прямоугольным с катетами $NB_1$ и $B_1P$. Но $N$ и $P$ лежат на смежных гранях. Для нахождения расстояния в 3D пространстве используем координаты или теорему Пифагора для пространственной фигуры. В прямоугольном треугольнике $NB_1P$, $\angle NB_1P = 90^\circ$:$NP^2 = NB_1^2 + B_1P^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.$NP = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MB_1P$ в плоскости передней грани (аналогично предыдущему пункту):$MP^2 = MB_1^2 + B_1P^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.$MP = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Так как $MN = NP = MP = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, треугольник $MNP$ является равносторонним.Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$, где $c$ — длина его стороны.Подставим длину стороны $c = \frac{a\sqrt{2}}{2}$:$S_{\triangle MNP} = \frac{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2 \cdot 2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.

6.29. Прямая $a$ и основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. 6.22). На ребре $AD$ отметили точку $E$, на ребре $CC_1$ — точку $F$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой $a$ и проходящей через точки $E$ и $F$.

Рис. 6.22

Обозначим искомую секущую плоскость через $\beta$. Согласно условию, плоскость $\beta$ проходит через точки $E$ и $F$ и параллельна прямой $a$. Построение сечения выполним в несколько шагов.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

Так как секущая плоскость $\beta$ параллельна прямой $a$, она должна содержать прямую, параллельную $a$. Точка $E$ принадлежит плоскости $\beta$ и одновременно лежит в плоскости основания $ABCD$ (в которой также лежит прямая $a$). Следовательно, линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $ABCD$ проходит через точку $E$ и параллельна прямой $a$.

Проведем в плоскости $ABCD$ через точку $E$ прямую, параллельную прямой $a$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BC$ в точке $H$. Отрезок $EH$ является линией пересечения секущей плоскости $\beta$ с гранью $ABCD$. Таким образом, $EH \parallel a$.

2. Построение линии пересечения с боковой гранью $BCC_1B_1$

Точки $H$ и $F$ принадлежат секущей плоскости $\beta$. Также они обе лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$, так как $H \in BC$ и $F \in CC_1$. Соединив точки $F$ и $H$, получим отрезок $FH$, который является линией пересечения плоскости $\beta$ с гранью $BCC_1B_1$.

3. Построение линии пересечения с боковой гранью $ADD_1A_1$

Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллелепипеда параллельны. По свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Наша секущая плоскость $\beta$ пересекает параллельные грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Линия пересечения с гранью $BCC_1B_1$ — это отрезок $FH$. Следовательно, линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ должна проходить через точку $E$ (которая лежит в этой грани) и быть параллельной отрезку $FH$.

Проведем в плоскости грани $ADD_1A_1$ через точку $E$ прямую, параллельную $FH$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $G$. Отрезок $EG$ является линией пересечения плоскости $\beta$ с гранью $ADD_1A_1$. Таким образом, $EG \parallel FH$.

4. Завершение построения сечения

Мы получили точки сечения $G$ на ребре $DD_1$ и $F$ на ребре $CC_1$. Обе эти точки лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком $GF$. Этот отрезок является линией пересечения плоскости $\beta$ с гранью $CDD_1C_1$.

В результате выполненных построений получен замкнутый четырехугольник $EHFG$. Его вершины лежат на ребрах параллелепипеда, а стороны являются линиями пересечения секущей плоскости с его гранями. Четырехугольник $EHFG$ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $EHFG$, где $H$ — точка пересечения прямой, проходящей через $E$ в плоскости $ABCD$ параллельно прямой $a$, с ребром $BC$; а $G$ — точка пересечения прямой, проходящей через $E$ в плоскости $ADD_1A_1$ параллельно отрезку $FH$, с ребром $DD_1$.

6.30. Прямая $a$ и основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. $6.23$). На ребре $AB$ отметили точку $E$, на ребре $C_1D_1$ — точку $F$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой $a$ и проходящей через точки $E$ и $F$.

Рис. $6.23$

Для построения сечения параллелепипеда плоскостью $ \beta $, которая проходит через точки $E$ и $F$ и параллельна прямой $a$, воспользуемся методом следов и свойством параллельности плоскостей.

План построения:

1. Построить линию пересечения (след) секущей плоскости $ \beta $ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.
2. Используя параллельность верхнего и нижнего оснований, построить след секущей плоскости $ \beta $ на плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$.
3. Последовательно соединить полученные точки, строя стороны сечения на боковых гранях параллелепипеда.

Построение:

1. Построение следа на нижней грани.Секущая плоскость $ \beta $ проходит через точку $E$, которая лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$. По условию, плоскость $ \beta $ параллельна прямой $a$, которая также лежит в плоскости $(ABC)$. Согласно свойству, если плоскость ($ \beta $) проходит через точку ($E$), лежащую в другой плоскости ($(ABC)$), и параллельна прямой ($a$), лежащей в той же плоскости, то линия их пересечения проходит через данную точку ($E$) параллельно данной прямой ($a$).

В плоскости нижнего основания $(ABC)$ проведем прямую через точку $E$ параллельно прямой $a$. Эта прямая пересечет одно из ребер основания, в зависимости от расположения точки $E$ и направления прямой $a$. Предположим, что она пересекает ребро $AD$ в точке $K$. Таким образом, отрезок $EK$ является стороной искомого сечения, лежащей на грани $ABCD$.

2. Построение следа на верхней грани.Плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(ABC)$. Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Следовательно, след плоскости $ \beta $ на верхней грани должен быть параллелен ее следу на нижней грани, то есть отрезку $EK$.

Секущая плоскость $ \beta $ проходит через точку $F$, которая лежит на ребре $C_1D_1$ и, следовательно, в плоскости верхней грани. Проведем в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ через точку $F$ прямую, параллельную $EK$ (и, соответственно, прямой $a$). Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $L$. Отрезок $LF$ является стороной сечения, лежащей на грани $A_1B_1C_1D_1$.

3. Построение сечения на боковых гранях.На данный момент мы имеем четыре вершины сечения: $E$ на ребре $AB$, $K$ на ребре $AD$, $L$ на ребре $A_1B_1$ и $F$ на ребре $C_1D_1$. Теперь построим стороны сечения на боковых гранях.

• Точки $E$ и $L$ лежат в плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Соединив их, получим отрезок $EL$ — сторону сечения на передней грани.
• Задняя грань $(CDD_1C_1)$ параллельна передней грани $(ABB_1A_1)$. Следовательно, сторона сечения на задней грани должна быть параллельна стороне $EL$. Проведем через точку $F$ прямую, параллельную $EL$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в точке $M$. Отрезок $FM$ — сторона сечения на задней грани.

4. Завершение построения.Мы получили пять вершин: $E, K, M, F, L$. Соединим их последовательно, чтобы получить искомое сечение.

• Вершины $K$ и $M$ лежат на ребрах $AD$ и $CD$ соответственно. Обе точки принадлежат плоскости нижнего основания $(ABC)$. Соединим их отрезком $KM$.
• Проверим последовательность вершин: $E \to L \to F \to M \to K \to E$.
• $EL$ — на передней грани $(ABB_1A_1)$.
• $LF$ — на верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$.
• $FM$ — на задней грани $(CDD_1C_1)$.
• $MK$ — на нижней грани $(ABCD)$.
• $KE$ — также на нижней грани $(ABCD)$.

Из последнего пункта следует, что точки $E, K, M$ лежат на одной прямой — следе секущей плоскости на нижнем основании. Таким образом, сечением является не шестиугольник, а пятиугольник $ELFMK$.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $ELFMK$, построенный в соответствии с описанными шагами. Стороны пятиугольника лежат на гранях параллелепипеда: $EL$ на грани $ABB_1A_1$, $LF$ на $A_1B_1C_1D_1$, $FM$ на $CDD_1C_1$, $MK$ и $KE$ на $ABCD$.