Страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие плоскости называют параллельными?

2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

3. В каких случаях говорят, что два многоугольника параллельны?

4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.

1. Какие плоскости называют параллельными?

Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Параллельность плоскостей $\alpha$ и $\beta$ обозначается как $\alpha \parallel \beta$.

Ответ: Параллельными называют плоскости, которые не имеют общих точек.

2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

Признак параллельности двух плоскостей гласит: если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Более формально: пусть в плоскости $\alpha$ лежат прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $M$ ($a \cap b = M$), а в плоскости $\beta$ лежат прямые $a_1$ и $b_1$, пересекающиеся в точке $M_1$ ($a_1 \cap b_1 = M_1$). Если $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$, то плоскости параллельны: $\alpha \parallel \beta$.

Ответ: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. В каких случаях говорят, что два многоугольника параллельны?

Два многоугольника называют параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях. Это означает, что если многоугольник $M_1$ целиком принадлежит плоскости $\alpha$, а многоугольник $M_2$ целиком принадлежит плоскости $\beta$, и при этом плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то многоугольники $M_1$ и $M_2$ считаются параллельными.

Ответ: Два многоугольника параллельны, если они лежат в параллельных плоскостях.

4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.

Основные свойства параллельных плоскостей выражаются следующими теоремами:

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. То есть, если $\alpha \parallel \beta$ и плоскость $\gamma$ пересекает $\alpha$ по прямой $a$ и $\beta$ по прямой $b$, то $a \parallel b$.

Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. То есть, если плоскости $\alpha \parallel \beta$, а прямые $l_1 \parallel l_2$, и они пересекают плоскости в точках $A_1, B_1$ и $A_2, B_2$ соответственно ($A_1, A_2 \in \alpha$; $B_1, B_2 \in \beta$), то длины отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$ равны.

Свойство 3 (Теорема о существовании и единственности). Через точку, не лежащую на данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.

Ответ: 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то их линии пересечения параллельны. 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. 3. Через точку вне данной плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной.

6.1. Верно ли утверждение:

1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости;

2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны;

3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?

1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости;

Утверждение неверно. Две прямые, лежащие в параллельных плоскостях, могут быть не только параллельными, но и скрещивающимися.

Рассмотрим контрпример. Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. В плоскости $\alpha$ проведем прямую $a$. В плоскости $\beta$ проведем прямую $b$. Если прямые $a$ и $b$ не имеют параллельных проекций друг на друга, они будут скрещивающимися. Например, в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость основания $(ABC)$ параллельна плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$. Прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны, они являются скрещивающимися. Следовательно, утверждение "любая прямая ... параллельна любой прямой" является ложным.

Ответ: неверно.

2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны;

Утверждение неверно. Плоскости могут пересекаться.

Рассмотрим контрпример. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. В плоскости $\alpha$ проведем прямую $a$, параллельную прямой $c$. Прямая $b$ из плоскости $\beta$ может быть самой прямой пересечения $c$. Таким образом, у нас есть прямая $a$ в плоскости $\alpha$, которая параллельна прямой $c$ в плоскости $\beta$, но при этом плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Значит, исходное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?

Утверждение неверно в общем виде. Оно справедливо только в случае, если пары прямых в каждой из плоскостей пересекаются. Это один из признаков параллельности плоскостей. Однако, если прямые в каждой из плоскостей параллельны между собой, то плоскости могут и пересекаться.

Приведем контрпример. Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Возьмем две пересекающиеся плоскости: плоскость основания $\alpha = (ABC)$ и плоскость боковой грани $\beta = (CDD_1)$. Они пересекаются по прямой $CD$.

• В плоскости $\alpha$ выберем две параллельные прямые: $a_1 = AB$ и $a_2 = CD$.
• В плоскости $\beta$ выберем две параллельные прямые: $b_1 = C_1D_1$ и $b_2 = CD$.

• Прямая $a_1 = AB$ параллельна прямой $b_1 = C_1D_1$ (так как обе параллельны $CD$).
• Прямая $a_2 = CD$ параллельна прямой $b_2 = CD$ (они совпадают).

Таким образом, две прямые ($AB$ и $CD$) в плоскости $\alpha$ соответственно параллельны двум прямым ($C_1D_1$ и $CD$) в плоскости $\beta$. Однако плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются по прямой $CD$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

6.2. Параллелограммы $ABCD$ и $AEFD$ не лежат в одной плоскости (рис. 6.13). Докажите, что плоскости $ABE$ и $DCF$ параллельны.

Рис. 6.13

6.2.

Для доказательства параллельности плоскостей $(ABE)$ и $(DCF)$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. По условию, $ABCD$ — параллелограмм. Из определения параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны. Таким образом, $AB \parallel DC$.

2. По условию, $AEFD$ — также параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны $AE$ и $DF$ параллельны: $AE \parallel DF$.

3. Прямые $AB$ и $AE$ лежат в плоскости $(ABE)$ и пересекаются в точке $A$. Прямые $DC$ и $DF$ лежат в плоскости $(DCF)$ и пересекаются в точке $D$.

Таким образом, мы имеем две пересекающиеся прямые ($AB$ и $AE$) в плоскости $(ABE)$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($DC$ и $DF$) в плоскости $(DCF)$.

Следовательно, по признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $(ABE)$ параллельна плоскости $(DCF)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как $ABCD$ и $AEFD$ — параллелограммы, то $AB \parallel DC$ и $AE \parallel DF$. Прямые $AB$ и $AE$ пересекаются и лежат в плоскости $(ABE)$, а прямые $DC$ и $DF$ пересекаются и лежат в плоскости $(DCF)$. По признаку параллельности плоскостей, плоскость $(ABE)$ параллельна плоскости $(DCF)$.

6.3. Точки $M$, $N$ и $K$ — середины рёбер $AB$, $AC$ и $AD$ тетраэдра $DABC$. Докажите, что плоскости $MNK$ и $BCD$ параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $MNK$ и $BCD$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, точки $M$ и $K$ являются серединами рёбер $AB$ и $AD$ соответственно. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, $MK \parallel BD$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ACD$. По условию, точки $N$ и $K$ являются серединами рёбер $AC$ и $AD$ соответственно. Следовательно, отрезок $NK$ является средней линией треугольника $ACD$. По свойству средней линии, $NK \parallel CD$.

Итак, мы имеем две пересекающиеся в точке $K$ прямые ($MK$ и $NK$) в плоскости $MNK$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся в точке $D$ прямым ($BD$ и $CD$) в плоскости $BCD$.

Согласно признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, плоскость $MNK$ параллельна плоскости $BCD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.4. На рёбрах $DA, DB$ и $DC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E, F$ и $K$ так, что $\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}$. Докажите, что плоскости $EFK$ и $ABC$ параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $EFK$ и $ABC$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей, который гласит: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим грань тетраэдра $DAB$, которая является треугольником $\triangle DAB$. В этом треугольнике точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $DA$ и $DB$ соответственно. По условию задачи нам дано соотношение:

$\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB}$

Рассмотрим треугольники $\triangle DEF$ и $\triangle DAB$. У них есть общий угол $\angle ADB$. Стороны, образующие этот угол в обоих треугольниках, пропорциональны, как показано выше. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle DEF$ подобен $\triangle DAB$. Из подобия треугольников следует параллельность соответствующих сторон: $EF \parallel AB$.

2. Теперь рассмотрим грань тетраэдра $DBC$, которая является треугольником $\triangle DBC$. В этом треугольнике точки $F$ и $K$ лежат на сторонах $DB$ и $DC$ соответственно. По условию задачи также имеем:

$\frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}$

Аналогично первому пункту, рассмотрим треугольники $\triangle DFK$ и $\triangle DBC$. У них общий угол $\angle BDC$, и стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Следовательно, $\triangle DFK$ подобен $\triangle DBC$ по второму признаку подобия. Из этого подобия следует, что $FK \parallel BC$.

3. В итоге мы имеем:

Прямая $EF$ лежит в плоскости $(EFK)$, а прямая $AB$ — в плоскости $(ABC)$, и при этом $EF \parallel AB$.

Прямая $FK$ лежит в плоскости $(EFK)$, а прямая $BC$ — в плоскости $(ABC)$, и при этом $FK \parallel BC$.

Прямые $EF$ и $FK$ пересекаются в точке $F$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$.

Таким образом, выполнены все условия признака параллельности двух плоскостей: две пересекающиеся прямые ($EF$ и $FK$) в плоскости $(EFK)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BC$) в плоскости $(ABC)$. Следовательно, плоскость $(EFK)$ параллельна плоскости $(ABC)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскости $EFK$ и $ABC$ параллельны.

6.5. Две диагонали правильного шестиугольника параллельны плоскости $\alpha$. Можно ли утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости $\alpha$?

Нет, такое утверждение сделать нельзя. Ответ зависит от того, являются ли выбранные диагонали пересекающимися или параллельными.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, для того чтобы плоскость шестиугольника, назовем ее $ \beta $, была параллельна плоскости $ \alpha $, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости $ \beta $, были параллельны плоскости $ \alpha $.

Рассмотрим два возможных случая для диагоналей правильного шестиугольника.

Случай 1: Выбранные диагонали пересекаются.
Пусть $d_1$ и $d_2$ — две пересекающиеся диагонали правильного шестиугольника. Они лежат в одной плоскости $ \beta $. По условию задачи, обе эти диагонали параллельны плоскости $ \alpha $. Так как $d_1$ и $d_2$ являются двумя пересекающимися прямыми в плоскости $ \beta $, и обе они параллельны плоскости $ \alpha $, то по признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $ \beta $ будет параллельна плоскости $ \alpha $. В этом случае утверждение верно.

Случай 2: Выбранные диагонали параллельны.
В правильном шестиугольнике существуют пары параллельных диагоналей (например, в шестиугольнике ABCDEF диагонали AC и FD параллельны). Если по условию выбраны именно такие две параллельные диагонали, то признак параллельности плоскостей, требующий наличия двух пересекающихся прямых, не выполняется. Это позволяет построить контрпример.
Представим, что плоскость шестиугольника $ \beta $ не параллельна плоскости $ \alpha $, а пересекает ее по некоторой прямой $l$. В плоскости $ \beta $ можно провести две различные прямые, параллельные прямой $l$. Эти прямые будут параллельны друг другу, а также параллельны плоскости $ \alpha $ (так как они параллельны прямой $l$, которая целиком лежит в плоскости $ \alpha $). Теперь можно расположить правильный шестиугольник в плоскости $ \beta $ таким образом, чтобы две его параллельные диагонали лежали на этих построенных прямых. В результате мы получим ситуацию, когда две диагонали шестиугольника параллельны плоскости $ \alpha $, но сама плоскость шестиугольника $ \beta $ не параллельна плоскости $ \alpha $.

Поскольку утверждение должно быть верным для любой пары диагоналей, а мы нашли случай (когда диагонали параллельны), в котором оно не выполняется, то в общем виде данное утверждение неверно.

Ответ: Нет, утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости $ \alpha $, нельзя.

6.6. Можно ли утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости трапеции, если плоскость $\alpha$ параллельна:

1) основаниям трапеции;

2) боковым сторонам трапеции?

1) основаниям трапеции;
Пусть трапеция лежит в плоскости $\beta$. Обозначим ее основания как $a$ и $b$. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $a \parallel b$. Обе эти прямые, $a$ и $b$, лежат в плоскости $\beta$.
По условию, плоскость $\alpha$ параллельна основаниям трапеции, что означает $\alpha \parallel a$ и $\alpha \parallel b$.
Для того чтобы утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, необходимо выполнение признака параллельности двух плоскостей. Признак гласит: "Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны".
В данном случае прямые $a$ и $b$, лежащие в плоскости $\beta$ и параллельные плоскости $\alpha$, не пересекаются, а параллельны друг другу. Следовательно, признак параллельности плоскостей не выполняется.
Можно привести контрпример. Пусть плоскость $\beta$ (плоскость трапеции) пересекается с плоскостью $\alpha$ по некоторой прямой $l$. Если прямая $l$ будет параллельна основаниям трапеции ($l \parallel a$ и, следовательно, $l \parallel b$), то плоскость $\alpha$ будет параллельна основаниям $a$ и $b$ (так как в плоскости $\alpha$ есть прямая $l$, параллельная $a$ и $b$), но при этом плоскость $\alpha$ не будет параллельна плоскости $\beta$, поскольку они пересекаются.
Таким образом, утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости трапеции, нельзя.
Ответ: нет.

2) боковым сторонам трапеции?
Пусть трапеция лежит в плоскости $\beta$. Обозначим ее боковые стороны как $c$ и $d$.
По определению трапеции (четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна), боковые стороны не параллельны. Поскольку боковые стороны $c$ и $d$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они являются пересекающимися прямыми (если их продолжить).
По условию, плоскость $\alpha$ параллельна боковым сторонам трапеции, то есть $\alpha \parallel c$ и $\alpha \parallel d$.
Мы имеем две пересекающиеся прямые ($c$ и $d$) в плоскости $\beta$, и обе эти прямые параллельны плоскости $\alpha$. В этом случае выполняется признак параллельности двух плоскостей, который гласит: "Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны".
Следовательно, можно утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$.
Ответ: да.

6.7. Верно ли утверждение:

1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны;

2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?

1) Утверждение неверно.

Приведём контрпример, доказывающий ложность этого утверждения. Пусть две плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются по некоторой прямой $c$. Теперь выберем третью плоскость $\gamma$ так, чтобы она была параллельна прямой $c$ (но не содержала её). В этом случае плоскость $\gamma$ будет пересекать и плоскость $\alpha$, и плоскость $\beta$.

Пусть прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ (то есть $a = \alpha \cap \gamma$), а прямая $b$ — линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$ (то есть $b = \beta \cap \gamma$).

Прямые $a$ и $b$ обе лежат в плоскости $\gamma$. Это значит, что они могут либо пересекаться, либо быть параллельными.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$, она принадлежит плоскости $\alpha$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $b$, она принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $M$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, а значит, должна лежать на их общей линии пересечения — прямой $c$.

Однако точка $M$ также лежит и в плоскости $\gamma$. Получается, что прямая $c$ и плоскость $\gamma$ имеют общую точку $M$. Это противоречит нашему первоначальному условию, по которому плоскость $\gamma$ была выбрана параллельно прямой $c$.

Из этого противоречия следует, что наше предположение о пересечении прямых $a$ и $b$ неверно. Так как прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\gamma$ и не пересекаются, они должны быть параллельны ($a \parallel b$).

Таким образом, мы построили ситуацию, когда прямые пересечения ($a$ и $b$) двух плоскостей ($\alpha$ и $\beta$) третьей плоскостью ($\gamma$) параллельны, но сами исходные плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются. Это доказывает, что утверждение является ложным.

Ответ: нет, утверждение неверно.

2) Утверждение верно.

Докажем это утверждение. Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Выберем две произвольные различные параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, которые пересекают обе плоскости.

Обозначим точки их пересечения с плоскостями: $A_1 = l_1 \cap \alpha$, $B_1 = l_1 \cap \beta$ и $A_2 = l_2 \cap \alpha$, $B_2 = l_2 \cap \beta$.

По условию задачи, длины отрезков этих параллельных прямых, заключённых между плоскостями, равны: $|A_1B_1| = |A_2B_2|$.

Рассмотрим четырёхугольник $A_1A_2B_2B_1$. Его противоположные стороны $A_1B_1$ и $A_2B_2$ лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l_2$, следовательно, эти стороны параллельны. Так как, по условию, они ещё и равны по длине, то четырёхугольник $A_1A_2B_2B_1$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма: если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм).

Из свойства параллелограмма следует, что другие его противоположные стороны также параллельны, то есть $A_1A_2 \parallel B_1B_2$. Прямая $A_1A_2$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $B_1B_2$ лежит в плоскости $\beta$.

Теперь выберем третью прямую $l_3$, параллельную $l_1$ и $l_2$, но не лежащую в одной плоскости с ними. Пусть $A_3 = l_3 \cap \alpha$ и $B_3 = l_3 \cap \beta$. В этом случае точки $A_1$, $A_2$ и $A_3$ не будут лежать на одной прямой.

Проведя аналогичные рассуждения для пары прямых $l_1$ и $l_3$, мы получим, что $A_1A_3 \parallel B_1B_3$.

В результате мы имеем две пересекающиеся в точке $A_1$ прямые ($A_1A_2$ и $A_1A_3$) в плоскости $\alpha$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся в точке $B_1$ прямым ($B_1B_2$ и $B_1B_3$) в плоскости $\beta$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

Ответ: да, утверждение верно.