Номер 6.4, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.4. На рёбрах $DA, DB$ и $DC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E, F$ и $K$ так, что $\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}$. Докажите, что плоскости $EFK$ и $ABC$ параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $EFK$ и $ABC$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей, который гласит: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим грань тетраэдра $DAB$, которая является треугольником $\triangle DAB$. В этом треугольнике точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $DA$ и $DB$ соответственно. По условию задачи нам дано соотношение:

$\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB}$

Рассмотрим треугольники $\triangle DEF$ и $\triangle DAB$. У них есть общий угол $\angle ADB$. Стороны, образующие этот угол в обоих треугольниках, пропорциональны, как показано выше. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle DEF$ подобен $\triangle DAB$. Из подобия треугольников следует параллельность соответствующих сторон: $EF \parallel AB$.

2. Теперь рассмотрим грань тетраэдра $DBC$, которая является треугольником $\triangle DBC$. В этом треугольнике точки $F$ и $K$ лежат на сторонах $DB$ и $DC$ соответственно. По условию задачи также имеем:

$\frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}$

Аналогично первому пункту, рассмотрим треугольники $\triangle DFK$ и $\triangle DBC$. У них общий угол $\angle BDC$, и стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Следовательно, $\triangle DFK$ подобен $\triangle DBC$ по второму признаку подобия. Из этого подобия следует, что $FK \parallel BC$.

3. В итоге мы имеем:

Прямая $EF$ лежит в плоскости $(EFK)$, а прямая $AB$ — в плоскости $(ABC)$, и при этом $EF \parallel AB$.

Прямая $FK$ лежит в плоскости $(EFK)$, а прямая $BC$ — в плоскости $(ABC)$, и при этом $FK \parallel BC$.

Прямые $EF$ и $FK$ пересекаются в точке $F$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$.

Таким образом, выполнены все условия признака параллельности двух плоскостей: две пересекающиеся прямые ($EF$ и $FK$) в плоскости $(EFK)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BC$) в плоскости $(ABC)$. Следовательно, плоскость $(EFK)$ параллельна плоскости $(ABC)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскости $EFK$ и $ABC$ параллельны.