Номер 5.54, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.54. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$. На отрезках $BM$ и $CA_1$ соответственно отметили точки $E$ и $F$ так, что $EF \parallel AB_1$.

Найдите отношение $\frac{EF}{AB_1}$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базис с началом в точке $C$ и осями, направленными вдоль ребер призмы: $\vec{CA} = \vec{a}$, $\vec{CB} = \vec{b}$ и $\vec{CC_1} = \vec{c}$. Так как $ABCA_1B_1C_1$ — призма, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны.

Выразим радиус-векторы вершин призмы и точки $M$ в этом базисе:

• $\vec{C} = \vec{0}$
• $\vec{A} = \vec{a}$
• $\vec{B} = \vec{b}$
• $\vec{C_1} = \vec{c}$
• $\vec{A_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{B_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1} = \vec{b} + \vec{c}$
• Точка $M$ — середина ребра $CC_1$, следовательно, $\vec{M} = \frac{1}{2}\vec{c}$.

Точка $E$ лежит на отрезке $BM$. Ее радиус-вектор $\vec{E}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{B}$ и $\vec{M}$ (с началом в точке $C$):

$\vec{E} = (1-t)\vec{B} + t\vec{M}$ для некоторого параметра $t \in [0, 1]$.

Подставляя выражения для $\vec{B}$ и $\vec{M}$, получаем:

$\vec{E} = (1-t)\vec{b} + t\left(\frac{1}{2}\vec{c}\right) = (1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}$.

Точка $F$ лежит на отрезке $CA_1$. Ее радиус-вектор $\vec{F}$ пропорционален вектору $\vec{A_1}$:

$\vec{F} = s\vec{A_1}$ для некоторого параметра $s \in [0, 1]$.

Подставляя выражение для $\vec{A_1}$, получаем:

$\vec{F} = s(\vec{a} + \vec{c}) = s\vec{a} + s\vec{c}$.

Теперь найдем вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} = (s\vec{a} + s\vec{c}) - \left((1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}\right) = s\vec{a} - (1-t)\vec{b} + \left(s - \frac{t}{2}\right)\vec{c}$.

Найдем вектор $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = \vec{B_1} - \vec{A} = (\vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

По условию, $EF \parallel AB_1$. Это означает, что вектор $\vec{EF}$ коллинеарен вектору $\vec{AB_1}$, то есть существует такое число $k$, что $\vec{EF} = k \cdot \vec{AB_1}$. Искомое отношение $\frac{EF}{AB_1}$ равно модулю этого числа, то есть $|k|$.

Приравняем векторные выражения:

$s\vec{a} - (1-t)\vec{b} + \left(s - \frac{t}{2}\right)\vec{c} = k(-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -k\vec{a} + k\vec{b} + k\vec{c}$.

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ линейно независимы, мы можем приравнять коэффициенты при них в левой и правой частях равенства. Это дает систему из трех уравнений с тремя неизвестными $s, t, k$:

$\begin{cases} s = -k \\ -(1-t) = k \\ s - \frac{t}{2} = k \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения имеем $t-1=k$, откуда $t = k+1$.

Подставим выражения для $s$ (из первого уравнения) и $t$ в третье уравнение системы:

$(-k) - \frac{k+1}{2} = k$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$-2k - (k+1) = 2k$

$-2k - k - 1 = 2k$

$-3k - 1 = 2k$

$5k = -1$

$k = -\frac{1}{5}$

Искомое отношение равно модулю $k$:

$\frac{EF}{AB_1} = |k| = \left|-\frac{1}{5}\right| = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.