Номер 5.49, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.49. Основанием пирамиды $SABCDE$ является пятиугольник $ABCDE$. На рёбрах $SE$ и $SD$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ (рис. 5.31).

Известно, что $\frac{SM}{SE} = \frac{SN}{SD}$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $BMN$.

Рис. 5.31

Для построения сечения пирамиды `SABCDE` плоскостью `BMN` выполним следующие шаги:

Построение и обоснование

1. Соединим точки `M` и `N`, лежащие в плоскости одной грани `SDE`. Отрезок `MN` — одна из сторон искомого сечения.

2. Рассмотрим треугольник `SDE`. По условию на его сторонах `SE` и `SD` отмечены точки `M` и `N` так, что выполняется пропорция $ \frac{SM}{SE} = \frac{SN}{SD} $. Согласно теореме, обратной теореме Фалеса, это означает, что прямая `MN` параллельна стороне `DE` треугольника. Итак, $MN \parallel DE$.

3. Прямая `DE` лежит в плоскости основания пирамиды `(ABCDE)`. Поскольку прямая `MN`, принадлежащая секущей плоскости `(BMN)`, параллельна прямой `DE`, то прямая `MN` параллельна и всей плоскости основания `(ABCDE)`.

4. По свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость `(BMN)` пересекает плоскость `(ABCDE)` (к которой она не параллельна, так как имеет общую точку `B`), и при этом содержит прямую `MN`, параллельную плоскости `(ABCDE)`, то линия их пересечения будет проходить через их общую точку `B` и будет параллельна прямой `MN`.

5. Следовательно, для дальнейшего построения в плоскости основания `(ABCDE)` проведем прямую `l` через точку `B` параллельно `DE` (а значит, и параллельно `MN`). Прямая `l` является следом секущей плоскости на плоскости основания.

6. Теперь найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром `SC`. Для этого продлим ребро основания `CD` до пересечения с построенной прямой `l`. Обозначим точку их пересечения `P`.

7. Точка `P` принадлежит прямой `l`, поэтому она лежит в секущей плоскости `(BMN)`. В то же время точка `P` принадлежит прямой `CD`, поэтому она лежит в плоскости грани `SCD`.

8. Точка `N` также принадлежит секущей плоскости `(BMN)` и плоскости грани `SCD`. Таким образом, прямая `PN` является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани `SCD`.

9. Проведем прямую `PN`. Точка, в которой она пересекает ребро `SC`, является вершиной искомого сечения. Обозначим эту точку `K`.

10. Соединим последовательно точки, принадлежащие граням пирамиды: `B` с `M` (в грани `SBE`), `M` с `N` (в грани `SDE`), `N` с `K` (в грани `SCD`) и `K` с `B` (в грани `SBC`).

Полученный четырехугольник `BMNK` и является искомым сечением пирамиды.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник `BMNK`, построенный в соответствии с описанными выше шагами.