Номер 5.46, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.46. На ребре $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ (рис. 5.29).

Точки $N$ и $K$ принадлежат граням $BB_1C_1C$ и $DD_1C_1C$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 5.29

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями куба. Наиболее универсальным методом для решения таких задач является метод следов.

Построение

1. Построение следа плоскости $MNK$ на плоскости нижнего основания $ABC$.
След – это прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью основания. Для ее построения необходимо найти две точки, принадлежащие одновременно и плоскости $MNK$, и плоскости $ABC$.

а) Нахождение первой точки следа. Найдем точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$. Для этого спроецируем прямую $MN$ на плоскость $ABC$ параллельно боковым ребрам (например, $AA_1$). Проекцией точки $M$ на ребре $AA_1$ является точка $A$. Проекцией точки $N$, лежащей на грани $BB_1C_1C$, является некоторая точка $N_p$ на ребре $BC$. Прямая $AN_p$ — это проекция прямой $MN$ на плоскость $ABC$. Прямые $MN$ и $AN_p$ лежат в одной плоскости (определяемой точками $M, N, A$), поэтому они пересекаются. Точка их пересечения $P_1 = MN \cap AN_p$ принадлежит прямой $MN$ (а значит, и плоскости $MNK$) и прямой $AN_p$ (а значит, и плоскости $ABC$). Таким образом, $P_1$ — первая точка искомого следа.

б) Нахождение второй точки следа. Аналогично найдем точку пересечения прямой $NK$ с плоскостью $ABC$. Проекцией точки $N$ является точка $N_p$ на $BC$. Проекцией точки $K$ (с грани $DD_1C_1C$) является некоторая точка $K_p$ на $DC$. Прямая $N_pK_p$ — проекция прямой $NK$. Точка пересечения $P_2 = NK \cap N_pK_p$ является второй точкой следа, так как она одновременно принадлежит прямой $NK$ (плоскости $MNK$) и прямой $N_pK_p$ (плоскости $ABC$).

в) Построение следа. Прямая $l$, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является следом секущей плоскости $MNK$ на плоскости $ABC$.

2. Построение сторон многоугольника сечения.
Теперь, используя построенный след $l$, можно последовательно найти стороны сечения на гранях куба.

а) Находим точки пересечения следа $l$ с прямыми, содержащими ребра основания куба. Например, $S_1 = l \cap AB$ и $S_2 = l \cap AD$.

б) Строим сторону сечения на грани $AA_1B_1B$. Точки $M$ и $S_1$ лежат в плоскости этой грани. Проводим прямую $MS_1$, которая является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани. Отрезок этой прямой, заключенный внутри грани, является стороной сечения. Пусть это отрезок $MT_1$, где $T_1$ лежит на одном из ребер грани (например, $BB_1$ или $AB$).

в) Строим сторону сечения на грани $AA_1D_1D$. Точки $M$ и $S_2$ лежат в плоскости этой грани. Проводим прямую $MS_2$. Отрезок этой прямой внутри грани, например $MT_2$ (где $T_2$ на $DD_1$), является стороной сечения.

г) Теперь на грани $DD_1C_1C$ у нас есть построенная точка $T_2$ (на ребре $DD_1$) и заданная точка $K$. Обе они лежат в секущей плоскости и в плоскости этой грани. Проводим прямую $T_2K$. Отрезок этой прямой внутри грани, например $T_2T_3$ (где $T_3$ на ребре $DC$ или $C_1C$), является стороной сечения.

д) Аналогично, на грани $BB_1C_1C$ лежат построенная точка $T_1$ и заданная точка $N$. Проводим прямую $T_1N$. Отрезок этой прямой внутри грани, например $T_1T_4$ (где $T_4$ на ребре $BC$ или $C_1C$), является стороной сечения.

е) Наконец, на нижней и/или задней гранях соединяем оставшиеся свободные вершины ($T_3$ и $T_4$). Например, если $T_3$ на $DC$ и $T_4$ на $BC$, то они лежат на нижней грани. Соединяем их. Отрезок $T_3T_4$ — последняя сторона сечения. Для проверки правильности построений, точки $T_3$ и $T_4$ должны лежать на следе $l$.

В результате этих построений получается замкнутый многоугольник (например, пятиугольник $MT_1T_4T_3T_2$), который и является искомым сечением. Количество сторон сечения (от 3 до 6) зависит от конкретного расположения точек $M, N, K$.

Ответ: Искомое сечение — это многоугольник, вершины которого строятся последовательно на ребрах куба с помощью метода следов, как описано в алгоритме построения.