Номер 5.45, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.45. Точки $M$, $N$ и $K$ принадлежат соответственно граням $AA_1C_1C$, $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.28). Постройте сечение призмы плоскостью $MNK$.

Рис. 5.28

Для построения сечения призмы плоскостью $MNK$ воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью основания призмы, а затем, используя этот след, последовательно строятся стороны многоугольника сечения.

Построение состоит из двух основных этапов:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

След секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$ — это прямая. Для её построения найдём две точки, принадлежащие этой прямой. Такими точками являются точки пересечения каких-либо двух прямых, лежащих в плоскости $(MNK)$, с плоскостью $(ABC)$. Возьмём прямые $MN$ и $NK$.

• a) Нахождение точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$.
  Точка $M$ лежит в плоскости боковой грани $(AA_1C_1C)$, а точка $N$ — в плоскости боковой грани $(AA_1B_1B)$. Чтобы найти точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$, используем метод вспомогательных проекций.
  1. Спроецируем точки $M$ и $N$ на плоскость $(ABC)$ параллельно боковым рёбрам (например, $AA_1$). Для этого проведём через точку $M$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с ребром $AC$ в точке $M'$.
  2. Аналогично проведём через точку $N$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с ребром $AB$ в точке $N'$.
  3. Прямые $MN$ и $M'N'$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(MNN'M')$. Найдём их точку пересечения $P = MN \cap M'N'$.
  4. Так как $P \in MN$, то точка $P$ принадлежит секущей плоскости $(MNK)$. Так как $P \in M'N'$, а прямая $M'N'$ лежит в плоскости $(ABC)$, то точка $P$ принадлежит плоскости основания. Следовательно, $P$ — первая точка искомого следа.
• b) Нахождение точки пересечения прямой $NK$ с плоскостью $(ABC)$.
  Действуем аналогично. Точка $N \in (AA_1B_1B)$, точка $K \in (BB_1C_1C)$.
  1. Спроецируем точки $N$ и $K$ на плоскость $(ABC)$ параллельно боковым рёбрам (например, $BB_1$). Проекцией точки $N$ на $AB$ будет та же точка $N'$. Проведём через точку $K$ прямую, параллельную $BB_1$, до пересечения с ребром $BC$ в точке $K'$.
  2. Прямые $NK$ и $N'K'$ лежат в одной плоскости. Найдём их точку пересечения $Q = NK \cap N'K'$.
  3. Точка $Q$ принадлежит и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $Q$ — вторая точка искомого следа.
• c) Построение следа.
  Проводим прямую $s$ через точки $P$ и $Q$. Прямая $s=PQ$ является следом плоскости $(MNK)$ на плоскости $(ABC)$.

2. Построение многоугольника сечения.

Теперь, имея след $s$, мы можем найти вершины многоугольника сечения, которые являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами призмы.

• a) Найдём точки пересечения следа $s$ с прямыми, содержащими рёбра основания призмы. Пусть $s \cap AC = P_1$ и $s \cap BC = P_2$. Отрезок $P_1P_2$ (если его точки лежат на рёбрах $AC$ и $BC$) является стороной сечения на грани основания.
• b) Точка $P_2$ лежит в плоскости грани $(BB_1C_1C)$, как и точка $K$. Следовательно, прямая $P_2K$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани. Найдём точки пересечения этой прямой с рёбрами грани: пусть $P_3 = P_2K \cap BB_1$. Отрезок $P_2P_3$ (если $P_2$ и $P_3$ лежат на соответствующих рёбрах) — это сторона сечения.
• c) Точка $P_3$ лежит на ребре $BB_1$, значит, она также принадлежит грани $(AA_1B_1B)$. Точка $N$ также лежит в этой грани. Проводим прямую $P_3N$. Пусть она пересекает ребро $AA_1$ в точке $P_4$. Отрезок $P_3P_4$ — следующая сторона сечения.
• d) Точка $P_4$ лежит на ребре $AA_1$, то есть в грани $(AA_1C_1C)$, где также лежит точка $M$. Проводим прямую $P_4M$. Эта прямая должна пройти через точку $P_1$, найденную ранее (так как точки $P_4, M, P_1$ лежат одновременно в секущей плоскости и в плоскости грани $(AA_1C_1C)$). Это служит проверкой правильности построений. Отрезок $P_4P_1$ замыкает многоугольник сечения.

В результате последовательного соединения точек $P_1, P_2, P_3, P_4$ (или других точек, полученных на рёбрах в зависимости от конкретного расположения $M, N, K$) мы получаем искомый многоугольник, который является сечением призмы плоскостью $(MNK)$.

Ответ: Искомое сечение — многоугольник, построенный согласно описанному выше алгоритму. Его вершины являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами призмы. Построение основано на нахождении следа секущей плоскости на плоскости основания и последующем построении линий пересечения секущей плоскости с гранями призмы.