Номер 5.41, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.41. Дана пирамида $MABCD$ (рис. 5.27). На ребре $BC$ отметили точку $N$, на ребре $MD$ — точку $K$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $MC$.

Рис. 5.27

Пусть искомая секущая плоскость называется $\alpha$. По условию задачи, эта плоскость должна удовлетворять трем условиям:
1. Точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($N \in \alpha$).
2. Точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($K \in \alpha$).
3. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $MC$ ($MC \parallel \alpha$).

Построение сечения можно выполнить по следующему алгоритму:

1. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью $MDC$

   Прямая $MC$ и точка $K$ (по условию $K \in MD$) лежат в плоскости грани $(MDC)$. Согласно свойству о параллельности прямой и плоскости, если плоскость ($\alpha$) проходит через точку ($K$), не лежащую на данной прямой ($MC$), и параллельна этой прямой, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(MDC)$ есть прямая, проходящая через точку $K$ и параллельная прямой $MC$.
   Следовательно, в плоскости грани $(MDC)$ проведем прямую через точку $K$ параллельно прямой $MC$. Точку пересечения этой прямой с ребром $DC$ обозначим $L$. Отрезок $KL$ — одна из сторон искомого сечения ($KL \subset \alpha$ и $KL \parallel MC$).

2. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью $MBC$

   Аналогично, прямая $MC$ и точка $N$ (по условию $N \in BC$) лежат в плоскости грани $(MBC)$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через точку $N$ и параллельна прямой $MC$, их линия пересечения с плоскостью $(MBC)$ будет прямой, проходящей через $N$ и параллельной $MC$.
   Проведем в плоскости грани $(MBC)$ прямую через точку $N$ параллельно прямой $MC$. Точку пересечения этой прямой с ребром $MB$ обозначим $P$. Отрезок $NP$ — еще одна сторона искомого сечения ($NP \subset \alpha$ и $NP \parallel MC$).

3. Завершение построения сечения

   В результате предыдущих шагов мы получили четыре точки, принадлежащие секущей плоскости $\alpha$ и лежащие на ребрах пирамиды: $P \in MB$, $N \in BC$, $L \in DC$ и $K \in MD$.
   Для получения многоугольника сечения последовательно соединим эти точки:
   - Соединим точки $N$ и $L$, лежащие в плоскости основания $ABCD$. Отрезок $NL$ — след секущей плоскости на основании пирамиды.
   - Соединим точки $P$ и $K$.
   Таким образом, четырехугольник $PNLK$ является искомым сечением пирамиды.

Обоснование:

Построенная плоскость $(PNLK)$ проходит через точки $N$ и $K$ по построению. В плоскости $(PNLK)$ лежит прямая $NP$, которая по построению параллельна прямой $MC$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($MC$), не лежащая в плоскости ($(PNLK)$), параллельна некоторой прямой ($NP$), лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, плоскость $(PNLK)$ параллельна прямой $MC$. Таким образом, сечение $PNLK$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $PNLK$, где точка $P$ — это точка пересечения ребра $MB$ с прямой, проходящей через точку $N$ параллельно прямой $MC$, а точка $L$ — это точка пересечения ребра $DC$ с прямой, проходящей через точку $K$ параллельно прямой $MC$.