Номер 5.36, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.36. Точки $E$ и $F$ — середины соответственно рёбер $AD$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую $EF$ параллельно прямой $B_1D$.

Для построения искомого сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выполним следующие шаги:

1. Построение следа сечения на нижней грани

Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости сечения, а также в плоскости нижней грани $(ABCD)$. Следовательно, отрезок $EF$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью $ABCD$. Так как точки $E$ и $F$ — середины ребер $AD$ и $CD$ соответственно, то $EF$ — средняя линия треугольника $ACD$. Из этого следует, что $EF \parallel AC$.

2. Использование условия параллельности прямой $B_1D$

По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна диагонали куба $B_1D$. Прямая $B_1D$ лежит в диагональной плоскости $(BB_1D_1D)$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(BB_1D_1D)$ должна быть параллельна прямой $B_1D$.

Чтобы найти эту линию пересечения, найдем общую точку плоскостей $\alpha$ и $(BB_1D_1D)$. Прямая $EF$ (лежащая в $\alpha$) и прямая $BD$ (лежащая в $(BB_1D_1D)$) обе находятся в плоскости $(ABCD)$. Найдем их точку пересечения $K$.Пусть $O$ — центр грани $ABCD$ ($O = AC \cap BD$). В треугольнике $ADO$, $E$ — середина $AD$. Так как $EF \parallel AC$, то $EK \parallel AO$. По теореме Фалеса, $K$ является серединой отрезка $DO$.

3. Построение точки M на ребре $BB_1$

Теперь у нас есть точка $K$, принадлежащая обеим плоскостям. В плоскости $(BB_1D_1D)$ проведем через точку $K$ прямую, параллельную $B_1D$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в некоторой точке $M$. Точка $M$ будет являться одной из вершин искомого сечения.

Рассмотрим треугольник $B_1BD$. Так как $MK \parallel B_1D$, треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle BDB_1$ подобны. Из подобия следует соотношение:$\frac{BM}{BB_1} = \frac{BK}{BD}$Найдем длину отрезка $BK$. Так как $K$ — середина $DO$, а $O$ — середина $BD$, то $DK = \frac{1}{2}DO = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}BD) = \frac{1}{4}BD$.Тогда $BK = BD - DK = BD - \frac{1}{4}BD = \frac{3}{4}BD$.Подставляя это в пропорцию, получаем:$\frac{BM}{BB_1} = \frac{\frac{3}{4}BD}{BD} = \frac{3}{4}$.Таким образом, точка $M$ лежит на ребре $BB_1$ и $BM = \frac{3}{4}BB_1$.

4. Построение точек Q и P

Теперь, когда у нас есть три точки сечения $E, F, M$, мы можем построить остальные вершины, используя свойство параллельности следов секущей плоскости на параллельных гранях куба.

Продлим прямую $MK$ в плоскости $(BB_1D_1D)$ до пересечения с прямой $DD_1$. Обозначим эту точку $L$. Точки $F$ и $L$ принадлежат секущей плоскости, а также плоскости задней грани $(CDD_1C_1)$. Проведем прямую $FL$. Точка пересечения прямой $FL$ с ребром $CC_1$ даст нам новую вершину сечения — точку $Q$.

Грани $(ADD_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$ параллельны. Следовательно, линии пересечения секущей плоскости с этими гранями должны быть параллельны. У нас есть точки $M$ и $Q$ на грани $(BCC_1B_1)$, значит $MQ$ - след сечения на этой грани. Проведем в плоскости грани $(ADD_1A_1)$ через точку $E$ прямую, параллельную $MQ$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в точке $P$. Точка $P$ — последняя недостающая вершина сечения.

5. Построение итогового сечения

Мы нашли все вершины многоугольника в сечении: $E$ на $AD$, $F$ на $CD$, $Q$ на $CC_1$, $M$ на $BB_1$ и $P$ на $AA_1$. Последовательно соединив их, получаем искомое сечение — пятиугольник $EFPQM$.

• $EF$ лежит в грани $ABCD$.
• $FQ$ лежит в грани $CDD_1C_1$.
• $QM$ лежит в грани $BCC_1B_1$.
• $MP$ лежит в грани $ABB_1A_1$.
• $PE$ лежит в грани $ADD_1A_1$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $EFPQM$, вершины которого лежат на ребрах куба: $E$ — середина $AD$, $F$ — середина $CD$, точка $Q$ на ребре $CC_1$ такова, что $CQ = \frac{1}{4}CC_1$, точка $M$ на ребре $BB_1$ такова, что $BM = \frac{3}{4}BB_1$, и точка $P$ на ребре $AA_1$ такова, что $AP = \frac{1}{4}AA_1$.