Номер 5.42, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.42. Дана пирамида $MABCD$ (рис. 5.27). На ребре $BC$ отметили точку $N$, на ребре $MD$ — точку $K$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $CD$.

Рис. 5.27

Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $K$ и параллельна прямой $CD$.

Построение

1. Поскольку секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CD$, то она пересекает любую плоскость, содержащую прямую $CD$, по прямой, параллельной $CD$.

2. Рассмотрим плоскость грани $(MCD)$. Эта плоскость содержит прямую $CD$. Точка $K$ принадлежит как грани $(MCD)$ (поскольку $K \in MD$), так и секущей плоскости $\alpha$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(MCD)$ должна проходить через точку $K$ параллельно прямой $CD$. Проведем в плоскости $(MCD)$ прямую через $K$ параллельно $CD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $MC$ назовем $L$. Отрезок $KL$ — это сторона искомого сечения, причем $KL \parallel CD$.

3. Рассмотрим плоскость основания $(ABCD)$. Эта плоскость также содержит прямую $CD$. Точка $N$ принадлежит как плоскости основания (поскольку $N \in BC$), так и секущей плоскости $\alpha$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABCD)$ должна проходить через точку $N$ параллельно прямой $CD$. Проведем в плоскости $(ABCD)$ прямую через $N$ параллельно $CD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $AD$ назовем $P$. Отрезок $NP$ — это еще одна сторона искомого сечения, причем $NP \parallel CD$.

4. Соединим последовательно полученные точки: $N$, $L$, $K$ и $P$.

• Отрезок $NL$ соединяет точки на ребрах $BC$ и $MC$, он лежит в плоскости грани $(MBC)$.
• Отрезок $KP$ соединяет точки на ребрах $MD$ и $AD$, он лежит в плоскости грани $(MAD)$.

Поскольку по построению $KL \parallel CD$ и $NP \parallel CD$, то $KL \parallel NP$. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость, поэтому точки $N, L, K, P$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость проходит через заданные точки $N$ и $K$ и параллельна прямой $CD$ (так как содержит прямую $KL$, параллельную $CD$). Таким образом, четырехугольник $NLKP$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $NLKP$, где точка $L$ — это точка пересечения прямой, проведенной через $K$ параллельно $CD$, с ребром $MC$, а точка $P$ — это точка пересечения прямой, проведенной через $N$ параллельно $CD$, с ребром $AD$.