Номер 5.40, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.40. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, точка $O_1$ — центр квадрата $A_1 B_1 C_1 D_1$, точка $E$ — середина ребра $AD$, точка $F$ — середина ребра $CD$, точка $M$ — середина отрезка $OO_1$. Постройте сечение куба плоскостью $EMF$.

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EMF$ выполним последовательные шаги.

1. Построение линии пересечения с основанием.

   Точки $E$ (середина $AD$) и $F$ (середина $CD$) лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Следовательно, отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$ и является одной из сторон искомого сечения. В треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$, поэтому $EF$ является его средней линией. Отсюда следует, что $EF \parallel AC$.

2. Использование центра симметрии куба.

   Точка $O$ — центр нижнего основания $ABCD$, а $O_1$ — центр верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $OO_1$ соединяет центры оснований. Точка $M$ — середина отрезка $OO_1$, следовательно, $M$ является центром симметрии всего куба. Поскольку секущая плоскость $EMF$ проходит через центр куба $M$, искомое сечение будет центрально-симметричной фигурой относительно точки $M$.

3. Построение вершин сечения с использованием симметрии.

   Воспользуемся свойством центральной симметрии для нахождения других вершин сечения. Для каждой точки сечения, лежащей на ребре куба, точка, симметричная ей относительно центра $M$, также должна лежать в плоскости сечения и на поверхности куба.

   • Найдем точку, симметричную точке $E$ (середина $AD$) относительно центра $M$. Этой точкой будет середина ребра $B_1C_1$. Обозначим ее $G$.
   • Найдем точку, симметричную точке $F$ (середина $CD$) относительно центра $M$. Этой точкой будет середина ребра $A_1B_1$. Обозначим ее $H$.

   Таким образом, мы нашли еще две вершины сечения — $G$ и $H$. Отрезок $GH$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ и является стороной сечения. Аналогично отрезку $EF$, отрезок $GH$ является средней линией $\triangle A_1B_1C_1$, поэтому $GH \parallel A_1C_1$. Так как $A_1C_1 \parallel AC$, то $GH \parallel EF$.

4. Нахождение оставшихся вершин.

   Секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым.

   • Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Значит, линия пересечения плоскости $EMF$ с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна линии пересечения с гранью $ADD_1A_1$.
   • Грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$. Значит, линия пересечения плоскости $EMF$ с гранью $ABB_1A_1$ должна быть параллельна линии пересечения с гранью $CDD_1C_1$.

   Также можно воспользоваться свойством, что плоскость, проходящая через центр куба $M$ и содержащая линию $EF$, параллельную диагонали $AC$, должна также содержать линию, проходящую через $M$ и параллельную $AC$. Эта линия пересекает ребра $AA_1$ и $CC_1$ в их серединах. Обозначим эти точки как $P$ (середина $AA_1$) и $R$ (середина $CC_1$). Эти точки также являются вершинами сечения.

   Можно проверить, что точки $P$ и $R$ также симметричны друг другу относительно центра $M$.

5. Построение итогового сечения.

   Мы нашли шесть вершин сечения, которые являются серединами шести ребер куба: $E$ (на $AD$), $F$ (на $CD$), $R$ (на $CC_1$), $G$ (на $C_1B_1$), $H$ (на $B_1A_1$) и $P$ (на $A_1A$).

   Соединяем эти точки последовательно, чтобы получить многоугольник сечения:

   • Отрезок $EF$ на грани $ABCD$.
   • Отрезок $FR$ на грани $CDD_1C_1$.
   • Отрезок $RG$ на грани $BCC_1B_1$.
   • Отрезок $GH$ на грани $A_1B_1C_1D_1$.
   • Отрезок $HP$ на грани $A_1B_1BA$.
   • Отрезок $PE$ на грани $A_1ADD_1$.

   Полученный многоугольник $EFRGHP$ является шестиугольником. Так как все его вершины являются серединами ребер куба, а плоскость проходит через центр куба, этот шестиугольник является правильным.

Ответ: Искомым сечением является правильный шестиугольник $EFRGHP$, вершины которого являются серединами ребер $AD, CD, CC_1, C_1B_1, B_1A_1, A_1A$ соответственно.