Номер 5.38, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.38. Точки $M$, $N$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AB$, $BC$ и $CA$ призмы $ABC A_1 B_1 C_1$. Докажите, что прямые $C_1 M$, $A_1 N$ и $B_1 K$ пересекаются в одной точке.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в точке $A$. Обозначим базисные векторы: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ и $\vec{AA_1} = \vec{a}$.

В этой системе координат радиус-векторы вершин призмы будут следующими:
$\vec{A} = \vec{0}$
$\vec{B} = \vec{b}$
$\vec{C} = \vec{c}$
$\vec{A_1} = \vec{a}$
$\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{BB_1} = \vec{B} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{a}$
$\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{CC_1} = \vec{C} + \vec{AA_1} = \vec{c} + \vec{a}$

Точки $M$, $N$ и $K$ являются серединами ребер $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно. Найдем их радиус-векторы:
$M$ — середина $AB$: $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{0} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}\vec{b}$
$N$ — середина $BC$: $\vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
$K$ — середина $CA$: $\vec{K} = \frac{\vec{C} + \vec{A}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{0}}{2} = \frac{1}{2}\vec{c}$

Рассмотрим три треугольника: $\triangle C_1AB$, $\triangle A_1BC$ и $\triangle B_1CA$. Найдем радиус-векторы их центроидов (точек пересечения медиан).
Центроид $\triangle C_1AB$: $\vec{O_1} = \frac{\vec{C_1} + \vec{A} + \vec{B}}{3} = \frac{(\vec{a}+\vec{c}) + \vec{0} + \vec{b}}{3} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
Центроид $\triangle A_1BC$: $\vec{O_2} = \frac{\vec{A_1} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$
Центроид $\triangle B_1CA$: $\vec{O_3} = \frac{\vec{B_1} + \vec{C} + \vec{A}}{3} = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) + \vec{c} + \vec{0}}{3} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

Поскольку $\vec{O_1} = \vec{O_2} = \vec{O_3}$, все три треугольника имеют общий центроид. Обозначим эту точку как $O$.

Теперь докажем, что точка $O$ лежит на каждой из трех прямых $C_1M$, $A_1N$ и $B_1K$.

• Прямая $C_1M$: Точка $M$ является серединой стороны $AB$ в треугольнике $C_1AB$. Следовательно, отрезок $C_1M$ является медианой этого треугольника. Центроид $O$ по определению лежит на этой медиане, а значит, и на прямой $C_1M$.
• Прямая $A_1N$: Точка $N$ является серединой стороны $BC$ в треугольнике $A_1BC$. Следовательно, отрезок $A_1N$ является медианой этого треугольника. Центроид $O$ лежит на этой медиане, а значит, и на прямой $A_1N$.
• Прямая $B_1K$: Точка $K$ является серединой стороны $CA$ в треугольнике $B_1CA$. Следовательно, отрезок $B_1K$ является медианой этого треугольника. Центроид $O$ лежит на этой медиане, а значит, и на прямой $B_1K$.

Таким образом, мы показали, что все три прямые $C_1M$, $A_1N$ и $B_1K$ проходят через одну и ту же точку $O$, которая является общим центроидом для треугольников $C_1AB$, $A_1BC$ и $B_1CA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $C_1M$, $A_1N$ и $B_1K$ пересекаются в одной точке.